Corrigé Mathématiques Antilles 2026 – Jour 2
Ce corrigé Mathématiques Antilles 2026 jour 2 reprend intégralement les quatre exercices du sujet : probabilités, chaîne de relais, loi binomiale, géométrie dans l’espace, équations différentielles, convexité, logarithme et intégrales. Chaque réponse est détaillée pour montrer non seulement le résultat, mais surtout la méthode attendue dans une copie de bac.
En résumé : les quatre exercices du corrigé Mathématiques Antilles 2026
Le sujet de spécialité mathématiques Antilles-Guyane jour 2 comporte quatre exercices indépendants et dure 4 heures. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le programme officiel de terminale met précisément l’accent sur les compétences chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer : ce corrigé les reprend à chaque étape.
Programme mobilisé dans ce sujet de bac Mathématiques
Ce sujet correspond très bien au programme de terminale générale. L’exercice 1 utilise les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’espérance, la variance et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. L’exercice 2 mobilise la géométrie dans l’espace : vecteurs, plans, produit scalaire, projeté orthogonal et angle. L’exercice 3 vérifie les réflexes sur les équations différentielles, les fonctions convexes et les limites. Enfin, l’exercice 4 combine logarithme, dérivées première et seconde, lecture graphique, primitive et valeur moyenne.
Le corrigé Mathématiques Antilles 2026 ci-dessous ne se limite donc pas à donner les réponses : il montre comment rédiger de façon claire, exactement comme attendu dans une copie de terminale.
Mots du lexique Mathématiques utiles pour ce sujet
La page de lexique Mathématiques sera ajoutée prochainement. En attendant, voici les notions à maîtriser pour comprendre le corrigé.
Exercice 1 – Probabilités, loi binomiale et suite récurrente
L’exercice porte sur un réseau de communication composé de relais. Il faut comprendre comment une erreur peut se transmettre ou être corrigée, puis utiliser un modèle binomial et une suite récurrente.
Partie A – Arbre pondéré et probabilité conditionnelle
1. Arbre pondéré complété
On sait que P(A1) = 0,96, donc P(Ā1) = 0,04. Si le message reçu est sans erreur, il est transmis sans erreur avec une probabilité 0,94 ; sinon il est transmis avec erreur avec une probabilité 0,06. Si le message reçu comporte des erreurs, celles-ci sont corrigées avec une probabilité 0,35 ; sinon elles restent présentes avec une probabilité 0,65.
2. Montrer que P(A2) = 0,9164
On utilise la formule des probabilités totales en distinguant les deux cas : le message reçu par le premier relais est sans erreur ou comporte une erreur.
P(A2) = 0,96 × 0,94 + 0,04 × 0,35 = 0,9024 + 0,014 = 0,9164.
3. Calculer PA2(A1) et interpréter
On cherche la probabilité que le message ait déjà été sans erreur au premier relais sachant qu’il est sans erreur au deuxième relais.
Partie B – Loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev
1a. Probabilité que 4 tests soient positifs
La variable X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,04. On utilise donc la formule de la loi binomiale.
1b. Probabilité qu’au moins un test soit positif
Il est plus simple de passer par l’événement contraire : aucun test n’est positif.
1c. Espérance et variance
Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n ; p), on a E(X) = np et V(X) = np(1 – p).
V(X) = 50 × 0,04 × 0,96 = 1,92.
2a. Espérance et variance de M
La variable M est la moyenne des 25 variables X1, X2, …, X25. Par linéarité de l’espérance :
Comme les variables sont indépendantes, les variances s’additionnent.
2b. Utiliser Bienaymé-Tchebychev
On veut montrer que P(M < 7) est supérieure à 0,99. L’indication permet d’écrire :
Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Donc :
Partie C – Suite récurrente
1. Montrer par récurrence que pn+1 ≤ pn
On a p1 = 0,96 et p2 = 0,59 × 0,96 + 0,35 = 0,9164. Donc p2 ≤ p1 : l’initialisation est vraie.
Supposons maintenant que pn+1 ≤ pn. Comme 0,59 est positif, on peut multiplier l’inégalité par 0,59 :
En ajoutant 0,35 aux deux membres :
Donc pn+2 ≤ pn+1. La propriété est héréditaire.
2. Montrer que la suite est convergente
La suite (pn) est décroissante. De plus, chaque pn est une probabilité, donc pn ≥ 0. Une suite décroissante et minorée est convergente.
3. Déterminer la limite exacte
Si la suite converge vers une limite ℓ, alors en passant à la limite dans la relation pn+1 = 0,59pn + 0,35, on obtient :
0,41ℓ = 0,35.
ℓ = 0,35 / 0,41 = 35 / 41.
Exercice 2 – Géométrie dans l’espace : tétraèdre et sécurité
On modélise un module d’escalade par le tétraèdre ABCD dans un repère orthonormé. Les coordonnées sont : A(0 ; 0 ; 0), B(9/2 ; 0 ; 0), C(9/4 ; 3 ; 0) et D(3/2 ; 1 ; 3).
Partie A – Base, hauteur et volume
1a. Montrer que ABC est isocèle en C
On calcule les longueurs CA et CB.
1b. Aire du triangle ABC
Le segment AB est porté par l’axe des abscisses et mesure 9/2 m. La hauteur issue de C vers AB vaut 3 m, car C a pour ordonnée 3.
2a. Équation du plan (ABC)
Les points A, B et C ont tous une coordonnée z égale à 0. Le plan qui les contient est donc le plan horizontal d’équation :
2b. Projeté orthogonal de D sur le plan (ABC)
Le point H(3/2 ; 1 ; 0) appartient au plan z = 0. De plus, D(3/2 ; 1 ; 3) et H ont les mêmes coordonnées x et y : le vecteur DH est vertical.
Ce vecteur est orthogonal au plan z = 0. Ainsi, H est bien le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
3. Volume du module
La base choisie est le triangle ABC, d’aire 6,75 m². La hauteur correspondante est DH = 3 m.
Partie B – Plan (BCD), droite orthogonale et angle
1a. Montrer que n⃗ est normal au plan (BCD)
On considère n⃗ = (4 ; 3 ; 3). Pour montrer que n⃗ est normal au plan (BCD), on vérifie qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple BC et BD.
BD = D – B = (-3 ; 1 ; 3).
n⃗ · BD = 4×(-3) + 3×1 + 3×3 = -12 + 3 + 9 = 0.
1b. Équation cartésienne du plan (BCD)
Comme n⃗ = (4 ; 3 ; 3) est un vecteur normal, une équation du plan est de la forme :
Le point B(9/2 ; 0 ; 0) appartient au plan :
1c. Représentation paramétrique de la droite Δ
La droite Δ est orthogonale au plan (BCD), donc elle a pour vecteur directeur n⃗ = (4 ; 3 ; 3). Elle passe par D(3/2 ; 1 ; 3).
2. Coordonnées du point L
Le point L appartient au plan (ABC), donc z = 0. Dans la représentation de Δ :
On remplace t par -1 :
3. Montrer que le module est adapté aux débutants
Il faut montrer que l’angle L D H est strictement inférieur à 60°. On utilise les vecteurs DL et DH.
DH = H – D = (0 ; 0 ; -3).
||DL|| = √34 et ||DH|| = 3.
Donc :
Or 3/√34 > 1/2 car 6 > √34. Donc cos(L D H) > cos(60°). Sur [0° ; 180°], plus le cosinus est grand, plus l’angle est petit.
Exercice 3 – Vrai/Faux : équations différentielles, convexité et asymptote
Chaque affirmation doit être justifiée. Une simple réponse « vrai » ou « faux » ne suffit pas.
Affirmation 1
L’équation différentielle est y′ + 2y = 0, soit y′ = -2y. Les solutions sont de la forme :
Comme f(0) = 1, on a C = 1. Donc f(x) = e-2x. On calcule :
Affirmation 2
On considère f(x) = x – cos(x) sur [π/2 ; π]. On calcule :
Sur [π/2 ; π], on a cos(x) ≤ 0. La fonction est donc concave sur cet intervalle. Une fonction concave a sa courbe située en dessous de ses tangentes, et non au-dessus.
Affirmation 3
On considère f(x) = 1 + sin(x)/x sur ]0 ; +∞[. Comme -1 ≤ sin(x) ≤ 1, on a :
Lorsque x tend vers +∞, les deux bornes tendent vers 0. Par encadrement :
Affirmation 4
On teste directement la fonction f(x) = 2x – e3x dans l’équation y′ – 3y = 2 – 6x.
Exercice 4 – Logarithme, dérivées, convexité et valeur moyenne
On étudie la famille de fonctions fk définies sur ]0 ; +∞[ par :
Partie A – Cas k = 2 : lecture graphique
1. Variations d’une primitive F2 sur ]0 ; 3]
Si F2 est une primitive de f2, alors F′2 = f2. Les variations de F2 dépendent donc du signe de f2. D’après le graphique, la courbe de f2 est sous l’axe des abscisses près de 0, puis au-dessus de l’axe, puis à nouveau en dessous après environ 2,5.
2. Identifier f′2 et f″2
La courbe de f2 augmente d’abord, puis atteint un maximum, puis décroît : sa dérivée f′2 doit donc être positive au début, s’annuler, puis devenir négative. Parmi les courbes proposées, cela correspond à la courbe 1.
Le point A est un point d’inflexion de C2. La dérivée seconde f″2 doit donc s’annuler en l’abscisse de A et changer de signe. La courbe qui correspond à ce comportement est la courbe 2.
Partie B – Cas k = 1 : étude analytique
1a. Dérivée de f1
On a :
On dérive le terme (1 + ln x)/x comme un produit : (1 + ln x) × x-1.
1b. Limite de f′1 en +∞
On sait que ln(x)/x² tend vers 0 lorsque x tend vers +∞.
2a. Justifier les variations de f′1 et la valeur de l’extremum
On admet que :
Comme x³ > 0 sur ]0 ; +∞[, le signe de f″1 est celui de 2 ln x – 1. On résout :
Ainsi, f″1 est négative sur ]0 ; √e[, puis positive sur ]√e ; +∞[. Donc f′1 décroît puis croît. Sa valeur minimale est :
2b. Limite de f′1 en 0
Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers -∞. Donc -ln(x)/x² tend vers +∞.
2c. Unique solution α et maximum de f1
La fonction f′1 est continue sur ]0 ; +∞[. Elle part de +∞ lorsque x tend vers 0, puis décroît jusqu’à une valeur négative, et ensuite croît vers -1, qui reste négatif. Elle coupe donc l’axe des abscisses une seule fois.
2d. Programme Python à compléter
On part de u = 0,5. À cette valeur, d(u) est positif. Il faut donc augmenter u de 0,01 jusqu’à ce que d(u) ne soit plus positif.
def d(x):
return -1-ln(x)/x**2
def alpha():
u = 0.5
while d(u) > 0:
u = u + 0.01
return u> et u + 0.01. Le programme renvoie une valeur approchée de α à 10-2 près.Partie C – Cas k quelconque
1. Montrer que H est une primitive de h
On a h(x) = (1 + ln x)/x et H(x) = 1/2(1 + ln x)². On dérive H :
2. Existe-t-il une valeur de k pour laquelle la valeur moyenne est nulle ?
La valeur moyenne de fk sur [1 ; e] est nulle si et seulement si :
On calcule séparément les termes :
De plus, comme H est une primitive de h :
Donc :
On veut que cette expression soit nulle :
(3/2)k = (e² + 1)/2 – e = (e – 1)²/2.
k = (e – 1)² / 3.
Méthode : comment gagner des points sur ce sujet
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FAQ – Corrigé Mathématiques Antilles-Guyane 2026 jour 2
Quels exercices composent ce sujet de Mathématiques Antilles 2026 jour 2 ?
Le sujet comporte quatre exercices : probabilités et suites, géométrie dans l’espace, vrai/faux d’analyse, puis étude d’une fonction avec logarithme et intégrale.
Quelle est la limite de la suite dans l’exercice 1 ?
La limite exacte est 35/41. Elle s’obtient en résolvant ℓ = 0,59ℓ + 0,35 après avoir montré que la suite est convergente.
Quel est le volume du tétraèdre dans l’exercice 2 ?
Le volume vaut 6,75 m³. On utilise l’aire de la base ABC, égale à 6,75 m², et la hauteur DH, égale à 3 m.
Quelles affirmations sont vraies dans l’exercice 3 ?
Les affirmations 3 et 4 sont vraies. Les affirmations 1 et 2 sont fausses.
Quelle courbe représente f′₂ dans l’exercice 4 ?
La courbe 1 représente f′₂. La courbe 2 représente f″₂ car elle s’annule au point d’inflexion.
Quelle valeur de k rend la valeur moyenne nulle ?
La valeur recherchée est k = (e – 1)² / 3. Elle est strictement positive, donc elle convient.