Corrigé physique-chimie Antilles 2026 jour 1

Q1. Base conjuguée de l’ion hydrogénocarbonate

L’ion hydrogénocarbonate HCO₃⁻ perd un proton H⁺. Sa base conjuguée est donc l’ion carbonate CO₃²⁻.

Q2. Caractère amphotère de HCO₃⁻

Une espèce amphotère peut se comporter comme un acide ou comme une base :

• HCO₃⁻ peut capter H⁺ et donner CO₂(aq) + H₂O : c’est une base ;
• HCO₃⁻ peut céder H⁺ et donner CO₃²⁻ : c’est un acide.

Il appartient donc aux deux couples CO₂(aq)/HCO₃⁻ et HCO₃⁻/CO₃²⁻.

Q3. Diagramme de prédominance

À gauche d’un pK_A, la forme acide prédomine ; à droite, la forme basique prédomine.

Q4. Espèce majoritaire à pH 9,0

Le pH vérifie 6,4 < 9,0 < 10,3. Il se situe dans le domaine de prédominance de HCO₃⁻. L’ion hydrogénocarbonate est donc la forme majoritaire dans S₁.

Q5. Masse annoncée par le fabricant

La pastille contient 0,22 % en masse d’ions hydrogénocarbonate :

Q6. Réaction support du titrage

L’ion hydrogénocarbonate capte un proton apporté par H₃O⁺ :

Les coefficients stœchiométriques sont 1:1.

Q7. Volume à l’équivalence

L’équivalence correspond au point d’inflexion de la courbe pH = f(V), ou au minimum de la courbe d pH/dV. La lecture de l’annexe donne :

Q8. Quantité de matière titrée

À l’équivalence, les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques :

Q9. Masse expérimentale dans une pastille

Les 50,0 mL titrés représentent la moitié des 100 mL de S₁. La pastille entière contient donc 2n₁ moles :

Q10. Compatibilité des deux valeurs

Calculons d’abord l’incertitude-type :

Puis le quotient de compatibilité :

Comme z > 2, la valeur mesurée n’est pas compatible avec la valeur calculée à partir de l’étiquette.

Q11. Interprétation de l’écart

Le dosage acide-base n’est pas sélectif des seuls ions hydrogénocarbonate. Les ions carboxylate R–COO⁻ des agents d’enrobage réagissent eux aussi avec H₃O⁺ :

Une partie de l’acide versé titre donc les carboxylates. En attribuant tout le volume équivalent aux seuls HCO₃⁻, on surestime leur quantité et leur masse.

Q12. Indicateur coloré

Le pH à l’équivalence vaut 4,3. Il faut choisir un indicateur dont la zone de virage contient cette valeur : le vert de bromocrésol, dont la zone 3,8–5,4 encadre 4,3.

Avant l’équivalence, la solution est plus basique : l’indicateur est bleu. Lorsque l’acide est ajouté, il vire vers le jaune, en passant par le vert autour de l’équivalence.

Q13. Volume d’eau minérale équivalent à une pastille

La concentration massique vaut 4,37×10³ mg·L⁻¹ = 4,37 g·L⁻¹. En utilisant la masse annoncée m_f = 5,808×10⁻³ g :

Q14. Montage d’hydrodistillation

Le montage B est le montage de distillation : les vapeurs formées dans le ballon passent dans un réfrigérant incliné, se condensent puis sont recueillies dans un récipient. Le montage A est un chauffage à reflux, dans lequel les vapeurs condensées retombent dans le ballon.

Q15. Choix du dichlorométhane

Un bon solvant d’extraction doit être non miscible avec la phase aqueuse et bien dissoudre l’espèce à extraire. Le dichlorométhane est quasi insoluble dans l’eau et l’arôme y est très soluble. Après agitation puis décantation, l’arôme passe donc préférentiellement dans la phase organique.

Q16. Nature probable de l’arôme

Les taches du dépôt 1 sont aux mêmes hauteurs que celles du dépôt 2, donc possèdent les mêmes rapports frontaux R_f. La phase extraite contient vraisemblablement les mêmes espèces que l’huile essentielle de menthe verte.

Q17. Groupes hydroxyle du saccharose

On compte huit groupes –OH sur la représentation de la molécule de saccharose. Ce grand nombre permet la formation de nombreux ponts hydrogène avec l’eau et explique sa forte solubilité.

Q18. Vérification de l’indication du fabricant

La masse volumique de l’échantillon vaut :

La lecture de la droite d’étalonnage donne une concentration massique voisine de 95 à 100 g·L⁻¹. L’indication « 9,5 g pour 100 mL » correspond à :

Cette valeur est compatible avec la lecture graphique, compte tenu de la précision de l’étalonnage.

Q1. Composition d’un noyau de césium 137

Le numéro atomique Z = 55 donne 55 protons. Le nombre de neutrons vaut N = A − Z = 137 − 55 = 82.

Q2. Équation de désintégration β⁻

Dans une désintégration β⁻, un neutron devient un proton : A reste constant et Z augmente de 1. Selon le niveau de détail attendu, l’antineutrino électronique peut être omis dans l’écriture scolaire simplifiée.

Q3. Équation différentielle

On dispose de A(t) = −dN/dt et de A(t) = λN(t). En identifiant :

Q4. Vérification de la solution

Pour N(t) = N₀e^−λt :

La fonction vérifie donc l’équation différentielle et la condition initiale N(0) = N₀.

Q5. Relation entre demi-vie et constante radioactive

Par définition, N(t_1/2) = N₀/2 :

Q6. Estimation graphique de λ

Sur la courbe, 50 % des noyaux restent après environ 30 ans : t_1/2 ≈ 30 ans. Ainsi :

Q7. Ligne Python

En utilisant la valeur estimée de λ :

pourcentage = 100*np.exp(-0.0231*t)

Une écriture avec une variable préalablement définie, par exemple lamb = 0.0231 puis 100*np.exp(-lamb*t), convient également.

Q8. Expression de l’activité

Comme A(t) = λN(t) et N(t) = N₀e^−λt :

Q9. Activité en 2026 et masse limite

Entre 2010 et 2026, Δt = 16 ans. L’activité d’un gramme devient :

Dans l’interprétation attendue par la question, on recherche la masse donnant une activité totale de 10 Bq :

Q1. Force exercée par la Terre sur la Lune

Dans le repère de Frenet, le vecteur unitaire u⃗_n est dirigé vers le centre de la trajectoire, donc vers la Terre :

Q2. Vitesse de la Lune

Pour un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est centripète : a⃗ = (v_L²/d_T/L)u⃗_n. La deuxième loi de Newton donne :

Après simplification par M_L :

Q3. Période et troisième loi de Kepler

La Lune parcourt une circonférence 2πd_T/L pendant une période T :

En remplaçant v_L :

En élevant au carré :

Q4. Distance Terre-Lune

Convertissons la période : T = 27,3×86 400 = 2,35872×10⁶ s. D’après la loi précédente :

Cette valeur est cohérente avec la distance moyenne Terre-Lune usuelle, proche de 384 000 km.

Q5. Rayon de la sphère de Hill

Q6. La Lune est-elle dans la sphère de Hill ?

d_T/L ≈ 3,83×10⁵ km, alors que r_Hill ≈ 1,50×10⁶ km. Comme d_T/L < r_Hill, la Lune se situe bien dans la sphère de Hill terrestre.

Q7. Pourquoi l’astéroïde n’a-t-il pas été capturé ?

La sphère de Hill s’étend jusqu’à environ 0,010 au. Sur la période de novembre 2024 à janvier 2025, la courbe place l’astéroïde à une distance supérieure ou tout au plus très voisine de cette limite, avec un minimum d’environ 0,011 au.

Il reste donc en dehors de la région où l’attraction terrestre domine durablement celle du Soleil. Sa trajectoire a pu sembler s’enrouler autour de la Terre sans former une orbite gravitationnellement liée : il n’a pas été capturé.

Q8. Angle apparent de l’astéroïde

Pour un petit angle, tan θ ≈ θ. Avec d = 11 m et d_A/T = 5,67×10⁵ km = 5,67×10⁸ m :

Q9. Comparaison au pouvoir séparateur de l’œil

Le pouvoir séparateur vaut ε = 3,0×10⁻⁴ rad. Or θ = 1,9×10⁻⁸ rad, soit environ 16 000 fois plus petit que ε. Les deux bords de l’astéroïde ne peuvent pas être séparés par l’œil.

Q10. Construction des rayons

Les deux rayons issus de B situé à l’infini arrivent parallèles sur l’objectif L₁. Après L₁, ils convergent vers B₁, situé dans le plan focal image de l’objectif. Le point A₁ est sur l’axe optique au foyer F′₁. Pour une lunette afocale, F′₁ et F₂ sont confondus.

À travers l’oculaire L₂, les rayons provenant de B₁ ressortent parallèles. Pour construire proprement le tracé, on utilise notamment le rayon passant par le centre optique O₂, qui n’est pas dévié.

Q11. Grossissement de la lunette

Pour les petits angles, dans le triangle associé à l’objectif :

Avec l’oculaire :

Le rapport des valeurs absolues donne :

Le signe négatif parfois utilisé en optique traduit le renversement de l’image ; l’énoncé demande ici la valeur positive du grossissement.

Q12. La Grande Lunette suffit-elle ?

Convertissons f′₂ = 4 cm = 0,040 m :

L’angle apparent à travers la lunette vaut :

Or 7,6×10⁻⁶ < 3,0×10⁻⁴. Le critère θ′ > ε n’est pas satisfait.