Corrigé Mathématiques Métropole 2026 – Jour 1
Corrigé complet et pédagogique du sujet officiel de spécialité Mathématiques : probabilités, variables aléatoires, géométrie dans l’espace, dénombrement, équation différentielle, suite, Python, logarithme et calcul intégral.
En résumé : les résultats à connaître
Le sujet est très représentatif du bac : il oblige à passer d’un registre à l’autre. L’exercice 1 combine probabilités conditionnelles, variables aléatoires, espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. L’exercice 2 vérifie la maîtrise de la géométrie repérée dans l’espace et du dénombrement. L’exercice 3 mélange équation différentielle, suite récurrente et algorithme Python. L’exercice 4 porte sur une fonction logarithme, ses variations et une intégrale.
Programme mobilisé dans ce sujet
Ce corrigé s’appuie sur le programme officiel de terminale générale : probabilités conditionnelles, variables aléatoires, espérance, variance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, géométrie dans l’espace, représentations paramétriques, équations de plans, suites, équations différentielles, logarithme et calcul intégral.
Le programme insiste aussi sur six compétences : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer. C’est exactement ce que demande ce sujet : ne pas seulement trouver un résultat, mais être capable de l’expliquer proprement.
Mots du lexique Mathématiques utiles pour ce sujet
La page du lexique Mathématiques sera ajoutée prochainement. En attendant, voici les notions essentielles à maîtriser pour comprendre le corrigé.
Exercice 1 – Probabilités, variables aléatoires et Bienaymé-Tchebychev
Le contexte est celui d’une traversée maritime. On étudie d’abord les réservations de cabine et de véhicule, puis le montant payé par les familles pour des suppléments et des extras.
Partie A – Arbre de probabilités
1a. Donner P(C)
L’énoncé indique que 75 % des familles réservent une cabine.
1b. Compléter l’arbre pondéré
On sait que 30 % des familles réservent un emplacement pour véhicule. Donc P(V)=0,30 et P(V̄)=0,70. Parmi les familles qui réservent un véhicule, 80 % réservent une cabine : PV(C)=0,80 et PV(C̄)=0,20.
Il reste à trouver PV̄(C). On utilise la formule des probabilités totales :
0,75=0,30×0,80+0,70×PV̄(C)
0,75=0,24+0,70×PV̄(C)
PV̄(C)=0,51/0,70≈0,7286.
2. Probabilité de réserver un véhicule et une cabine
On multiplie la probabilité du premier événement par la probabilité conditionnelle du second.
3. Probabilité de réserver un véhicule sachant qu’une cabine est réservée
On cherche PC(V), c’est-à-dire P(V|C).
4. Déterminer PV̄(C) et interpréter
Le calcul a déjà été obtenu en complétant l’arbre.
Partie B – Espérance, variance et réduction
1. Justifier E(X)=96 et V(X)=3114
La variable X donne le montant payé pour les suppléments. On utilise la loi de probabilité fournie.
E(X)=0+4,2+51+40,8=96.
Pour la variance, on calcule d’abord E(X2).
E(X2)=294+5100+6936=12330.
V(X)=E(X2)−E(X)2=12330−962=12330−9216=3114.
2a. Justifier Z=0,6(X+Y)
Le total avant réduction est X+Y. Une remise de 40 % signifie que la famille paie 60 % du prix initial.
2b. En déduire E(Z) et V(Z)
On utilise la linéarité de l’espérance.
Comme X et Y sont indépendantes, les variances s’additionnent.
V(Z)=V(0,6(X+Y))=0,62×4800=0,36×4800=1728.
3a. Espérance et variance de Mn
La variable Mn est la moyenne de n variables indépendantes de même loi que Z.
Par linéarité :
Comme les variables Z1, …, Zn sont indépendantes :
3b. Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
On veut garantir :
Comme l’espérance vaut 120, l’intervalle ]114 ; 126[ correspond à un écart strictement inférieur à 6 autour de 120.
Par Bienaymé-Tchebychev :
Donc :
On cherche 1−48/n ≥ 0,85.
Exercice 2 – Géométrie dans l’espace et dénombrement
Chaque affirmation doit être déclarée vraie ou fausse avec une justification. C’est un exercice de rigueur : un résultat sans calcul explicite n’est pas suffisant.
Affirmation 1 : vraie
On calcule le vecteur directeur de la droite (AB).
AB→=(2−3 ; 1−0 ; −3−2)=(-1 ; 1 ; -5).
Le plan P a pour équation :
Un vecteur normal à ce plan est donc :
Ce vecteur normal est exactement le vecteur AB→. Donc le plan P est orthogonal à la droite (AB).
Vérifions ensuite que le plan passe par le milieu de [AB].
On remplace dans l’équation du plan :
Affirmation 2 : fausse
La droite d a pour représentation :
La droite (AB) peut être paramétrée avec un réel s :
Si les droites étaient sécantes, il existerait t et s tels que les coordonnées soient égales.
−1,5−t=s
2−2t=2−5s
En utilisant t=3−s dans la deuxième équation :
C’est impossible.
Affirmation 3 : vraie
On veut calculer l’angle ACB. On utilise les vecteurs CA→ et CB→.
CA→=A−C=(1,5 ; 3 ; 3)
CB→=B−C=(0,5 ; 4 ; −2).
Produit scalaire :
Normes :
||CB→||=√(0,52+42+(−2)2)=√20,25=4,5.
Donc :
Affirmation 4 : vraie
Pour la porte A, Clotilde doit saisir un code de 3 symboles différents dans l’ordre. Il y a donc :
Sa probabilité de réussite au hasard est donc 1/336.
Pour la porte B, Titouan doit choisir 4 symboles différents, mais l’ordre n’importe pas. Il y a donc :
Sa probabilité de réussite est donc 1/70.
Exercice 3 – Chauffage : équation différentielle, suite et Python
Le problème modélise deux phases : la montée en température lorsque le chauffage fonctionne, puis le refroidissement lorsque le chauffage s’arrête.
Partie A – Phase de chauffage
1. Solutions de l’équation différentielle
L’équation est :
On cherche d’abord une solution constante y=L. Alors :
Les solutions sont donc :
2. Déterminer T(t)
On sait que T(0)=18.
Donc K=-8.
3. Temps nécessaire pour atteindre 20°C
On résout T(t)=20.
8e−0,035t=6
e−0,035t=0,75.
On prend le logarithme :
t=−ln(0,75)/0,035≈8,22.
Attention : t est exprimé en dizaines de minutes. Cela représente donc environ 82,2 minutes.
4. La température peut-elle dépasser 28°C ?
La fonction T(t)=26−8e−0,035t tend vers 26 lorsque t tend vers +∞. De plus, e−0,035t est toujours positif, donc :
Partie B – Phase de refroidissement
1. Montrer que u1=19,72
On utilise la relation avec n=0 et u0=20.
u1=19,3+0,35+0,07=19,72.
2. Montrer par récurrence que un>10
Initialisation : u0=20>10.
Hérédité : supposons un>10. Alors :
Comme e−0,1n>0, on a :
3. Convergence de la suite
L’énoncé admet que la suite est décroissante. On vient de montrer qu’elle est minorée par 10. Une suite décroissante et minorée est convergente.
4a. Équation vérifiée par la limite
On note ℓ la limite. Comme e−0,1n tend vers 0, on passe à la limite dans la relation de récurrence :
4b. Déterminer et interpréter la limite
0,035ℓ=0,35
ℓ=10.
5a. Compléter le programme Python
Le programme doit continuer tant que la température est strictement supérieure à 18°C. Dès que u≤18, le chauffage se remet en marche.
def marche():
n = 0
u = 20
while u > 18:
u = 0.965*u + 0.35 + 0.07*exp(-0.1*n)
n = n + 1
return n
5b. Déterminer le temps de remise en marche
En calculant les premiers termes :
u8≈17,87 ≤ 18.
Exercice 4 – Fonction logarithme, variations et intégrale
On étudie une fonction définie par une expression logarithmique. L’exercice combine lecture graphique, calcul de dérivée, signe, asymptote, équation et intégrale.
Partie A – Déterminer a et b
1. Justifier que a=1
Le point A(0 ; 1) appartient à la courbe. Or :
Comme f(0)=1, on obtient :
2a. Donner f′(0) par lecture graphique
La droite TA est la tangente à la courbe au point A. Son coefficient directeur se lit sur le graphique. Elle monte d’environ 4 unités quand x augmente d’une unité.
2b. Donner le signe de f′′(1)
Au voisinage de x=1, la courbe est concave : elle est tournée vers le bas. Cela signifie que la dérivée seconde est négative.
3a. Calculer f′(x)
Comme a est constant, sa dérivée est nulle. On dérive :
Avec la formule du quotient :
g′(x)=(1−ln(x+1))/(x+1)2.
Donc :
3b. En déduire b
On évalue la dérivée en 0 :
Or la lecture graphique a donné f′(0)=4.
Partie B – Étude de f(x)=1+4ln(x+1)/(x+1)
1. Asymptote horizontale
Quand x tend vers +∞, ln(x+1)/(x+1) tend vers 0 par croissance comparée.
2. Résoudre 1−ln(x+1)>0
Comme la fonction exponentielle est croissante :
En tenant compte du domaine x>−1 :
3. Tableau de variation complet
On utilise :
Le dénominateur est toujours strictement positif sur ]−1 ; +∞[. Le signe de f′ dépend donc uniquement de 1−ln(x+1).
f′(x)=0 pour x=e−1.
f′(x)<0 sur ]e−1 ; +∞[.
On connaît aussi :
La valeur de l’extremum est :
4. Résoudre f(x)=1,5 sur [2 ; +∞[
Sur [2 ; +∞[, on a 2>e−1, donc f est strictement décroissante. De plus :
Et :
Par continuité et stricte décroissance, l’équation f(x)=1,5 admet une unique solution dans [2 ; +∞[.
5a. Calculer l’intégrale
On remarque que la dérivée de ln(x+1) est 1/(x+1). On peut poser u=ln(x+1).
=1/2(ln3)2−1/2(ln1)2
=1/2(ln3)2.
5b. Aire du domaine
Sur [0 ; 2], la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses. L’aire cherchée vaut donc :
On remplace f(x) par son expression :
A=∫021 dx + 4∫02ln(x+1)/(x+1) dx
A=2+4×1/2(ln3)2.
Méthodes et conseils pour réussir ce sujet
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FAQ – Corrigé Mathématiques Métropole 2026 jour 1
Le sujet Mathématiques Métropole 2026 jour 1 est-il difficile ?
Il est assez complet. La difficulté principale vient de l’enchaînement des notions : probabilités, géométrie dans l’espace, équation différentielle, suite, Python et logarithme. Chaque exercice reste classique si les méthodes sont bien maîtrisées.
Quel est le résultat de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
On obtient n=320. C’est le plus petit entier permettant d’affirmer que la moyenne Mn a au moins 85 % de chances d’être comprise entre 114 € et 126 €.
Quelles affirmations sont vraies dans l’exercice 2 ?
Les affirmations 1, 3 et 4 sont vraies. L’affirmation 2 est fausse.
Quand le chauffage se remet-il en marche dans l’exercice 3 ?
Le chauffage se remet en marche à partir de n=8 dizaines de minutes, c’est-à-dire au bout de 80 minutes.
Quelle est l’aire demandée dans l’exercice 4 ?
L’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe, l’axe des ordonnées et la droite x=2 vaut 2+2(ln3)2.