Corrigé Mathématiques Métropole 2026 – Jour 2
Sujet de spécialité Mathématiques du mercredi 17 juin 2026 : géométrie dans l’espace, suites et équation différentielle, probabilités, lecture graphique, fonction exponentielle et intégrale.
Résumé du sujet et attendus
Le sujet propose quatre exercices indépendants. Pour réussir, il faut identifier rapidement la méthode adaptée : produit scalaire et distance à un plan en géométrie, suite arithmético-géométrique et équation différentielle pour la pollution d’un bassin, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis exploitation graphique et calcul intégral autour d’une fonction exponentielle.
Ce qu’il fallait reconnaître
- Un plan de l’espace défini par trois points non alignés.
- Une suite vérifiant une relation de récurrence affine.
- Une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
- Une fonction de la forme f(x) = (2x – 1)e-2x+3
Conseil de copie
Le barème valorise les raisonnements. Même lorsqu’un résultat est donné par l’énoncé, il faut montrer la méthode : calcul de vecteurs, substitution dans une équation, utilisation d’une limite ou justification du signe d’une dérivée.
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Le corrigé ci-dessous suit le sujet officiel de spécialité Mathématiques, Métropole Réunion Mayotte, jour 2.
Exercice 1 – Géométrie dans l’espace
On considère A(2 ; 1 ; 1), B(3 ; -2 ; 0), C(0 ; -1 ; 1) et D(0 ; 0 ; 2).
1. Montrer que A, B et C définissent un plan
On calcule deux vecteurs issus de A :
AB = (1 ; -3 ; -1) et AC = (-2 ; -2 ; 0)Ils ne sont pas colinéaires : par exemple, si AC était un multiple de AB, le troisième coefficient devrait aussi être proportionnel, ce qui est impossible puisque -1 et 0 ne le sont pas. Les points A, B et C ne sont donc pas alignés : ils définissent un plan.
2. Vecteur normal et équation du plan
On vérifie que n = (1 ; -1 ; 4) est orthogonal à AB et à AC :
n · AB = 1 + 3 – 4 = 0 n · AC = -2 + 2 + 0 = 0Le vecteur n est donc normal au plan (ABC). Une équation du plan est de la forme x – y + 4z + d = 0. En utilisant A(2 ; 1 ; 1) :
2 – 1 + 4 + d = 0, donc d = -5On obtient bien :
x – y + 4z – 5 = 03. Droite orthogonale au plan passant par D
Une droite orthogonale au plan (ABC) a pour vecteur directeur n = (1 ; -1 ; 4). Comme elle passe par D(0 ; 0 ; 2), une représentation paramétrique est :
x = t, y = -t, z = 2 + 4t, avec t réel.4. Projeté orthogonal de D sur le plan (ABC)
On remplace x, y, z par les expressions de la droite dans l’équation du plan :
t – (-t) + 4(2 + 4t) – 5 = 0 18t + 3 = 0, donc t = -1/6Le projeté orthogonal est donc :
H(-1/6 ; 1/6 ; 4/3)5. Aire du triangle ABC
On a :
BA = (-1 ; 3 ; 1), donc BA² = 11 BC = (-3 ; 1 ; 1), donc BC² = 11Ainsi BA = BC : le triangle ABC est isocèle en B. L’aire demandée vaut :
Aire(ABC) = 3√26. Volume du tétraèdre et aire de BCD
La distance de D au plan (ABC) est :
|0 – 0 + 8 – 5| / √(1² + (-1)² + 4²) = 3/√18 = 1/√2Donc :
V = (1/3) × 3√2 × 1/√2 = 1On admet que la distance de A au plan (BCD) vaut √2. Alors :
1 = (1/3) × Aire(BCD) × √2 Aire(BCD) = 3/√2 = 3√2/27. Point Dk(0 ; 0 ; k)
Les points A, B, C et Dk sont coplanaires si Dk appartient au plan (ABC) :
0 – 0 + 4k – 5 = 0, donc k = 5/4Dans ce cas, Dk est déjà dans le plan, donc son projeté orthogonal sur (ABC) est lui-même.
Pour que A soit le projeté orthogonal de Dk, il faudrait que le vecteur ADk soit colinéaire à n. Or ADk = (-2 ; -1 ; k – 1), ce qui n’est pas colinéaire à (1 ; -1 ; 4), car les deux premières coordonnées imposeraient deux coefficients différents. Il n’existe donc aucune valeur de k.
Exercice 2 – Pollution d’un bassin
Partie A – Modèle discret
La suite est définie par V0 = 0 et Vn+1 = 0,995Vn + 6.
V1 = 6 V2 = 0,995 × 6 + 6 = 11,97Programme attendu :
def volume(n):v = 0
for k in range(n):
v = 0.995*v + 6
return v
Pour montrer que Vn ≤ 1200, on raisonne par récurrence. C’est vrai au rang 0. Si Vn ≤ 1200, alors :
Vn+1 ≤ 0,995 × 1200 + 6 = 1200De plus, comme Vn ≤ 1200, on a :
Vn+1 – Vn = 6 – 0,005Vn ≥ 0La suite est donc croissante et majorée par 1200. Elle converge vers une limite L vérifiant :
L = 0,995L + 6, donc L = 1200Partie B – Modèle continu
L’équation différentielle est y’ = -0,005y + 6. Les solutions sont :
y(t) = Ce-0,005t + 1200Comme v(0) = 0, on obtient C = -1200, donc :
v(t) = 1200(1 – e-0,005t)La limite en +∞ vaut 1200. De plus :
v'(t) = 6e-0,005t > 0La fonction v est donc croissante.
Nettoyage et seuil de 50 litres
5 % du bassin de 30 000 litres représente 1500 litres. Or la limite du modèle est 1200 litres : selon ce modèle, le nettoyage complet lié au seuil de 5 % n’est pas nécessaire.
Pour le seuil de 50 litres :
1200(1 – e-0,005t) > 50 e-0,005t < 23/24 t > 200 ln(24/23)On trouve environ 8,512 heures, soit environ 8 h 31 min.
Exercice 3 – Probabilités et dénombrement
| Affirmation | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1. Si la personne choisie est une femme, la probabilité qu’elle joue de la Pop est 0,832. | Vraie | P(Pop ∩ F) = 0,52 × 0,32 = 0,1664. Donc P(Pop | F) = 0,1664 / 0,20 = 0,832. |
| 2. Pour X ~ B(5000 ; 0,062), P(X ≤ 340) ≈ 0,4. | Fausse | L’espérance vaut 310 et l’écart-type environ 17,1. 340 est presque à 1,8 écart-type au-dessus de la moyenne ; la probabilité est proche de 0,96, pas de 0,4. |
| 3. Avec Bienaymé-Tchebychev, il y a plus de 95 % de chance que X soit strictement compris entre 230 et 390. | Vraie | Var(X) = 5000 × 0,062 × 0,938 = 290,78. Donc P(|X – 310| < 80) ≥ 1 – 290,78/80² ≈ 0,9546. |
| 4. On peut former 120 équipes différentes. | Vraie | Une équipe contient 2 musiciens parmi 4 et 3 non-musiciens parmi 6 : C(4,2) × C(6,3) = 6 × 20 = 120. |
Exercice 4 – Fonction exponentielle, logo et intégrale
Partie A – Lecture graphique
La tangente au point C d’abscisse 1 est horizontale, donc :
f'(1) = 0La courbe coupe l’axe des abscisses en x = 1/2, donc la solution de f(x) = 0 sur [0 ; 3] est :
x = 1/2La tangente en A(1/2 ; 0) passe par B(1 ; e²), donc :
f'(1/2) = (e² – 0) / (1 – 1/2) = 2e²Les primitives de f sont les courbes C1 et C2 : elles décroissent quand f est négative, puis croissent quand f est positive, avec un minimum au voisinage de x = 1/2.
Partie B – Étude de f
La fonction est :
f(x) = (2x – 1)e-2x+3On peut écrire :
f(x) = e² × (2x – 1) / e2x-1Comme e2x-1 domine 2x – 1 quand x tend vers +∞, on obtient :
lim f(x) = 0La dérivée est :
f'(x) = (-4x + 4)e-2x+3 = 4(1 – x)e-2x+3Comme l’exponentielle est toujours positive, le signe de f'(x) est celui de 1 – x. La fonction f est croissante sur [0 ; 1], puis décroissante sur [1 ; +∞[.
| x | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|
| f | -e³ | e | 0 |
Valeur de α
La hauteur totale du logo vaut 0,3 cm. Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, la courbe du haut doit donc avoir une ordonnée 0,15. La contrainte se traduit par :
f(α) = 0,15Sur [1 ; +∞[, f est continue et strictement décroissante, avec f(1) = e > 0,15 et lim f = 0 < 0,15. Il existe donc une unique valeur de α. Une valeur approchée est :
α ≈ 3,3Partie C – Aire et volume du porte-clé
On admet, après intégration par parties sur [0,5 ; 3,3], que :
I = ∫0,53,3 f(x) dx ≈ 3,6L’aire du logo comprend la partie supérieure et son symétrique :
Aire du logo ≈ 2 × 3,6 = 7,2 cm²L’épaisseur de la plaque est 0,2 cm, donc :
Volume ≈ 7,2 × 0,2 = 1,44 cm³Arrondi au dixième :
Volume ≈ 1,4 cm³Lexique des notions utiles
Vecteur normal
Vecteur orthogonal à tous les vecteurs directeurs d’un plan. Il permet d’écrire une équation cartésienne du plan.
Projeté orthogonal
Point d’un plan situé au pied de la perpendiculaire issue d’un point extérieur au plan.
Suite arithmético-géométrique
Suite définie par une relation du type un+1 = aun + b.
Équation différentielle
Équation qui relie une fonction inconnue à sa dérivée. Ici, elle modélise l’évolution continue d’un volume.
Loi binomiale
Loi du nombre de succès dans une répétition indépendante de n expériences de même probabilité p.
Primitive
Une fonction F est une primitive de f lorsque F’ = f. Le signe de f donne donc le sens de variation de F.