Corrigé Maths spé première 2026 – Métropole
Correction structurée dans l’ordre du sujet : d’abord les automatismes du QCM, puis chaque exercice question par question, avec méthode, résultat et points de vigilance.
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Résumé du sujet
Le sujet commence par une partie Automatismes – QCM sur 6 points. La correction ci-dessous respecte cet ordre : QCM d’abord, puis exercices de la deuxième partie. Les thèmes principaux sont : Automatismes, Probabilités conditionnelles, Vrai-faux et produit scalaire.
Automatismes
À revoir avec calculs courts, réponses justifiées et interprétation.
À revoir avec calculs courts, réponses justifiées et interprétation.
Probabilités conditionnelles
À revoir avec calculs courts, réponses justifiées et interprétation.
À revoir avec calculs courts, réponses justifiées et interprétation.
Vrai-faux et produit scalaire
À revoir avec calculs courts, réponses justifiées et interprétation.
À revoir avec calculs courts, réponses justifiées et interprétation.
Première partie – Automatismes – QCM (6 points)
Cette partie doit être traitée en premier : aucune justification n’est demandée dans la copie, mais la correction ci-dessous montre le raisonnement rapide qui permet d’éviter les pièges.
Q1
Développer une identité remarquable.
Réponse. c : 9x² – 12x + 4, car (3x-2)² = (3x)² – 2×3x×2 + 2².
Méthode. Utiliser (a-b)²=a²-2ab+b².
Q2
Lire l’équation d’une droite sur un graphique.
Réponse. y = -x + 2. La droite coupe l’axe des ordonnées en 2 et descend d’une unité quand x augmente d’une unité.
Méthode. Une droite décroissante a un coefficient directeur négatif.
Q3
75 % étudient le grec, 9 élèves étudient le latin.
Réponse. Réponse : 36 élèves.
Méthode. Les 9 élèves représentent 25 %, donc total = 9/0,25.
Q4
Augmentation de 15 %.
Réponse. Réponse : multiplier par 1,15.
Méthode. Augmenter de t %, c’est multiplier par 1+t/100.
Q5
Ordre de grandeur de 150 000 / 3 200.
Réponse. Réponse : environ 50.
Méthode. 3200×50=160 000, proche de 150 000.
Q6
2 400 images en 1 min 40 s.
Réponse. Réponse : 24 images/seconde.
Méthode. 1 min 40 s = 100 s, donc 2400/100=24.
Q7
Tester l’appartenance d’un point à une courbe.
Réponse. C(3 ; 10). En effet f(3)=0,5(3-3)²+10=10.
Méthode. Un point (a;b) appartient à C si f(a)=b.
Q8
Calcul avec puissances de 10.
Réponse. Réponse : 0,001 lorsque l’expression se simplifie en 10-3.
Méthode. Soustraire les exposants au quotient.
Exercice 1 – Location de bicyclettes
1
Compléter l’arbre pondéré.
Réponse. P(T)=0,60 ; P(E)=0,40 ; P(A|T)=0,25 ; P(non A|T)=0,75.
Méthode. Commencer par les informations directement données, puis compléter avec les événements contraires.
2
Donner P(A).
Réponse. P(A)=0,20.
Méthode. C’est indiqué dans l’énoncé : 20 % de l’ensemble des clients ont pris une assurance.
3
Calculer P(T∩A).
Réponse. P(T∩A)=P(T)×P(A|T)=0,60×0,25=0,15.
Méthode. Dans un arbre, une intersection se calcule en multipliant les probabilités le long du chemin.
4
En déduire P(E∩A).
Réponse. P(E∩A)=P(A)-P(T∩A)=0,20-0,15=0,05.
Méthode. L’événement A se partage entre les clients traditionnels et électriques.
5
Calculer P(A|E).
Réponse. P(A|E)=P(E∩A)/P(E)=0,05/0,40=1/8.
Méthode. Le dénominateur doit être la probabilité de la condition : ici avoir loué une bicyclette électrique.
Exercice 2 – Affirmations
1
Équation x²+x-u²=0.
Réponse. Vrai : Δ=1+4u², strictement positif pour tout réel u.
Méthode. Pour prouver deux solutions distinctes, on montre que le discriminant est strictement positif.
2
Suite définie par une puissance de 1/2.
Réponse. Vrai si u_n=2-n ou équivalent : la raison est 1/2.
Méthode. On calcule u_{n+1}/u_n. Si le quotient est constant, la suite est géométrique.
3
Tangente à f(x)=ex-1 en 0.
Réponse. Vrai : f(0)=0 et f'(0)=1, donc T : y=x ; A(3;3) appartient à T.
Méthode. L’équation d’une tangente est y=f'(a)(x-a)+f(a).
Exercice 3 – Produit scalaire
1
Coordonnées et norme de KP.
Réponse. Avec K(1;0) et P(4;0), KP=(3;0) et ||KP||=3.
Méthode. Soustraire les coordonnées : extrémité moins origine.
2
Coordonnées et norme de KM.
Réponse. M(x;3), donc KM=(x-1;3) et ||KM||=√((x-1)²+9).
Méthode. La norme d’un vecteur (a;b) vaut √(a²+b²).
3
Produit scalaire KP·KM.
Réponse. KP·KM=3(x-1)+0×3=3x-3.
Méthode. Avec les coordonnées : (a;b)·(c;d)=ac+bd.
4
Condition d’angle π/3.
Réponse. On utilise KP·KM=||KP||×||KM||×cos(π/3), donc 3x-3=3√((x-1)²+9)/2.
Méthode. Traduire l’angle par la formule du produit scalaire.
5
Vérifier la solution.
Réponse. Le réel 1+√3 vérifie l’équation obtenue.
Méthode. Remplacer x par 1+√3 et simplifier : la vérification vaut preuve.
Notions clés à maîtriser
Ces notions viennent du programme de spécialité mathématiques de première et correspondent aux outils mobilisés dans le sujet.
| Définition utile | À savoir faire le jour du bac | |
|---|---|---|
| Automatismes | Calculs rapides : pourcentages, fractions, puissances, équations simples et lectures graphiques. | Sécuriser les 6 points du QCM. |
| Suites | Suite arithmétique si on ajoute une même quantité ; géométrique si on multiplie par un même nombre. | Identifier la raison, écrire u_n et interpréter un seuil. |
| Probabilités | Arbres pondérés, intersections, probabilités conditionnelles et espérance. | Passer de l’énoncé à un arbre, puis calculer dans le bon ordre. |
| Dérivation | La dérivée donne le coefficient directeur d’une tangente et les variations. | Étudier le signe de f’ avant de conclure sur f. |
| Exponentielle | Fonction toujours positive, très utile pour les modèles d’évolution. | Dériver ekx et utiliser le signe du facteur restant. |
| Produit scalaire | Outil reliant coordonnées, longueurs et angles. | Tester l’orthogonalité ou traduire une condition d’angle. |
| Second degré | Équations du type ax²+bx+c=0. | Utiliser discriminant, factorisation ou produit nul. |
| Algorithmique | Boucles Python permettant de chercher un seuil ou de cumuler une somme. | Expliquer les variables, la condition du while et la valeur affichée. |
Méthode de révision après le corrigé
1. Refaire chaque question.
Ne relis pas seulement la solution : refais le calcul sur une feuille.
Ne relis pas seulement la solution : refais le calcul sur une feuille.
2. Nommer la méthode.
Écris à côté de chaque erreur : arbre, dérivée, suite géométrique, produit scalaire, etc.
Écris à côté de chaque erreur : arbre, dérivée, suite géométrique, produit scalaire, etc.
3. Vérifier l’interprétation.
En maths appliquées, un résultat numérique doit souvent être traduit dans le contexte.
En maths appliquées, un résultat numérique doit souvent être traduit dans le contexte.
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