Quels chapitres sont évalués dans le sujet Mathématiques Métropole 2026 jour 1 ?

Le sujet mobilise les probabilités conditionnelles, les variables aléatoires, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, la géométrie dans l'espace, le dénombrement, les équations différentielles, les suites, le logarithme et le calcul intégral.

Quel est le résultat principal de l'exercice 1 ?

On obtient P(V et C)=0,24, P(V sachant C)=0,32, E(X)=96, V(X)=3114, E(Z)=120, V(Z)=1728, puis n=320 pour l'application de Bienaymé-Tchebychev.

À partir de quand le chauffage se remet-il en marche dans l'exercice 3 ?

Le programme renvoie n=8 : le chauffage se remet en marche à partir de 8 dizaines de minutes, soit 80 minutes.

Quelle est la solution approchée de f(x)=1,5 dans l'exercice 4 ?

Sur l'intervalle [2 ; +∞[, l'équation f(x)=1,5 admet une unique solution, environ 25,1.

Quels chapitres sont évalués dans le sujet Mathématiques Antilles 2026 jour 2 ?

Le sujet évalue les probabilités, la loi binomiale, les suites, la géométrie dans l'espace, les équations différentielles, la convexité, le logarithme et le calcul intégral.

Quelle est la limite de la suite de l'exercice 1 ?

La limite exacte de la suite pn est 35/41, obtenue en résolvant l'équation l = 0,59l + 0,35.

Quel est le volume du tétraèdre de l'exercice 2 ?

L'aire de la base ABC vaut 6,75 m² et la hauteur DH vaut 3 m. Le volume est donc 6,75 m³.

Quelles sont les affirmations vraies dans l'exercice 3 ?

Les affirmations 3 et 4 sont vraies. Les affirmations 1 et 2 sont fausses.

Quelle valeur de k donne une valeur moyenne nulle dans l'exercice 4 ?

La valeur de k est (e - 1)² / 3, qui est strictement positive.

Les quatre exercices du sujet sont-ils corrigés ?

Oui. Toutes les questions des quatre exercices sont corrigées avec les calculs et justifications.

Le premier protocole médicamenteux présente-t-il un risque ?

Oui. La quantité atteint 3 mg après dix tiers de logarithme de 7 heures, soit environ 6,5 heures, avant la durée minimale de sept heures.

Quelle est l'aire demandée dans l'exercice 4 ?

L'aire exacte vaut quinze huitièmes de logarithme de 3 moins 1 unité d'aire.

Faut-il éviter les sujets « trop vus » ?

Pas forcément : choisis un angle personnel (données récentes, cas d'usage local, simulation maison) et discute les limites du modèle.

Dois-je faire des démonstrations longues ?

Non. Préfère des raisonnements clairs, une figure propre, un calcul court mais parlant et une interprétation concrète.

Et si je me fais « piéger » en questions ?

Reviens aux définitions, reformule, prends un petit exemple chiffré, et reconnais ce que tu ne sais pas (c'est apprécié si c'est honnête).

Quelles notions du programme Terminale Maths spécialité sont évaluées au bac 2026 ?

Le programme de Terminale spécialité Mathématiques comporte 6 grands domaines : (1) Analyse — fonctions (dérivation, primitives, intégrales, exponentielle, logarithme) ; (2) Suites numériques (arithmétiques, géométriques, récurrentes, convergence) ; (3) Probabilités et statistiques (variables aléatoires, loi binomiale, loi normale, intervalles de confiance) ; (4) Géométrie dans l'espace (vecteurs, droites et plans, coordonnées) ; (5) Nombres complexes (formes algébrique, trigonométrique et exponentielle) ; (6) Algorithmique et Python (fonctions, boucles, simulation, dichotomie).

Quelle est la structure de l'épreuve Maths spécialité au bac général ?

L'épreuve de spécialité Mathématiques dure 3h30 et est notée sur 20. Elle comporte 4 à 5 exercices indépendants, chacun dédié à un ou plusieurs domaines du programme. Les questions sont progressives à l'intérieur de chaque exercice. La calculatrice est autorisée. Les correcteurs valorisent les démarches justifiées (propriété énoncée, hypothèses vérifiées, étapes intermédiaires) autant que les résultats corrects.

Comment s'entraîner efficacement pour le bac Maths spécialité 2026 ?

En attendant les sujets 2026, travailler avec les annales Maths spécialité 2025 (même programme, même format). Commencer par les corrigés officiels Métropole pour calibrer le niveau de rédaction. Travailler par domaine transversalement (tous les exercices de probabilités de plusieurs centres, puis tous ceux de fonctions). Finir par des sujets complets en 3h30 chrono. Ne jamais se contenter du résultat : comprendre pourquoi chaque étape est nécessaire.

Quels sont les automatismes à maîtriser pour le bac Maths spécialité 2026 ?

Les automatismes indispensables sont : dérivées usuelles (polynômes, exp, ln, composées) et règles de dérivation ; terme général et somme des suites arithmétiques et géométriques ; paramètres de la loi binomiale (espérance np, variance npq) et calcul sous la loi normale avec la calculatrice ; module et argument d'un nombre complexe, forme exponentielle ; lecture et écriture d'une boucle Python simple. Ces automatismes doivent être maîtrisés sans hésitation pour libérer du temps sur les questions de raisonnement.

Quelles sont les grandes notions du programme Mathématiques spécialité bac général mobilisées en 2025 ?

Les sujets 2025 mobilisent les 6 grands domaines du programme de Terminale spécialité Mathématiques : fonctions (dérivation, primitives, intégrales, exponentielle, logarithme), suites (arithmétiques, géométriques, récurrentes, convergence), probabilités et statistiques (loi binomiale, loi normale, variables aléatoires, intervalle de confiance), géométrie (vecteurs, produit scalaire, droites et plans dans l'espace), nombres complexes (formes algébrique et trigonométrique, équations), et algorithmique et Python.

Quelle est la structure de l'épreuve de Mathématiques spécialité au bac général 2025 ?

L'épreuve de spécialité Mathématiques 2025 dure 3h30, est notée sur 20 et comporte 4 à 5 exercices indépendants couvrant les différents domaines du programme. Les questions sont progressives au sein de chaque exercice. Les compétences évaluées sont le calcul, le raisonnement et la justification, la modélisation et l'utilisation de Python ou de la calculatrice.

Comment utiliser les annales Maths 2025 pour se préparer efficacement ?

Commencer par les sujets Métropole pour calibrer son niveau. Travailler ensuite par domaine : regrouper tous les exercices de probabilités de différents centres, puis tous les exercices de fonctions, etc. Finir par des sujets complets en 3h30 chrono. Sans corrigés officiels pour 2025, utiliser les sujets des années précédentes avec corrigés (2023, 2024) pour la correction active.

Y a-t-il un sujet de remplacement pour Maths spécialité 2025 ?

Oui, un sujet de remplacement est disponible pour 2025 : Polynésie 1 remplacement. Ce sujet correspond à la session de rattrapage organisée pour les candidats empêchés de passer l'épreuve initiale. Il constitue un excellent support d'entraînement supplémentaire.

Mathématiques Archives - Sujets-corrigés-bac

Corrigé Mathématiques Métropole 2026 Jour 2 – spécialité bac

SCB — Fri, 03 Jul 2026 12:57:54 +0000

Corrigé Mathématiques Métropole 2026 Jour 2 – spécialité bac

Corrigé Mathématiques Métropole 2026 – Jour 2

Sujet de spécialité Mathématiques du mercredi 17 juin 2026 : géométrie dans l’espace, suites et équation différentielle, probabilités, lecture graphique, fonction exponentielle et intégrale.

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Résumé du sujet et attendus

Le sujet propose quatre exercices indépendants. Pour réussir, il faut identifier rapidement la méthode adaptée : produit scalaire et distance à un plan en géométrie, suite arithmético-géométrique et équation différentielle pour la pollution d’un bassin, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis exploitation graphique et calcul intégral autour d’une fonction exponentielle.

Ce qu’il fallait reconnaître

Un plan de l’espace défini par trois points non alignés.
Une suite vérifiant une relation de récurrence affine.
Une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
Une fonction de la forme f(x) = (2x – 1)e^-2x+3

Conseil de copie

Le barème valorise les raisonnements. Même lorsqu’un résultat est donné par l’énoncé, il faut montrer la méthode : calcul de vecteurs, substitution dans une équation, utilisation d’une limite ou justification du signe d’une dérivée.

Téléchargement du sujet

Le corrigé ci-dessous suit le sujet officiel de spécialité Mathématiques, Métropole Réunion Mayotte, jour 2.

Sujet PDF Tous les sujets Mathématiques

Exercice 1 – Géométrie dans l’espace

On considère A(2 ; 1 ; 1), B(3 ; -2 ; 0), C(0 ; -1 ; 1) et D(0 ; 0 ; 2).

1. Montrer que A, B et C définissent un plan

On calcule deux vecteurs issus de A :

AB = (1 ; -3 ; -1) et AC = (-2 ; -2 ; 0)

Ils ne sont pas colinéaires : par exemple, si AC était un multiple de AB, le troisième coefficient devrait aussi être proportionnel, ce qui est impossible puisque -1 et 0 ne le sont pas. Les points A, B et C ne sont donc pas alignés : ils définissent un plan.

2. Vecteur normal et équation du plan

On vérifie que n = (1 ; -1 ; 4) est orthogonal à AB et à AC :

n · AB = 1 + 3 – 4 = 0 n · AC = -2 + 2 + 0 = 0

Le vecteur n est donc normal au plan (ABC). Une équation du plan est de la forme x – y + 4z + d = 0. En utilisant A(2 ; 1 ; 1) :

2 – 1 + 4 + d = 0, donc d = -5

On obtient bien :

x – y + 4z – 5 = 0

3. Droite orthogonale au plan passant par D

Une droite orthogonale au plan (ABC) a pour vecteur directeur n = (1 ; -1 ; 4). Comme elle passe par D(0 ; 0 ; 2), une représentation paramétrique est :

x = t, y = -t, z = 2 + 4t, avec t réel.

4. Projeté orthogonal de D sur le plan (ABC)

On remplace x, y, z par les expressions de la droite dans l’équation du plan :

t – (-t) + 4(2 + 4t) – 5 = 0 18t + 3 = 0, donc t = -1/6

Le projeté orthogonal est donc :

H(-1/6 ; 1/6 ; 4/3)

5. Aire du triangle ABC

On a :

BA = (-1 ; 3 ; 1), donc BA² = 11 BC = (-3 ; 1 ; 1), donc BC² = 11

Ainsi BA = BC : le triangle ABC est isocèle en B. L’aire demandée vaut :

Aire(ABC) = 3√2

6. Volume du tétraèdre et aire de BCD

La distance de D au plan (ABC) est :

|0 – 0 + 8 – 5| / √(1² + (-1)² + 4²) = 3/√18 = 1/√2

Donc :

V = (1/3) × 3√2 × 1/√2 = 1

On admet que la distance de A au plan (BCD) vaut √2. Alors :

1 = (1/3) × Aire(BCD) × √2 Aire(BCD) = 3/√2 = 3√2/2

7. Point D_k(0 ; 0 ; k)

Les points A, B, C et D_k sont coplanaires si D_k appartient au plan (ABC) :

0 – 0 + 4k – 5 = 0, donc k = 5/4

Dans ce cas, D_k est déjà dans le plan, donc son projeté orthogonal sur (ABC) est lui-même.

Pour que A soit le projeté orthogonal de D_k, il faudrait que le vecteur AD_k soit colinéaire à n. Or AD_k = (-2 ; -1 ; k – 1), ce qui n’est pas colinéaire à (1 ; -1 ; 4), car les deux premières coordonnées imposeraient deux coefficients différents. Il n’existe donc aucune valeur de k.

Exercice 2 – Pollution d’un bassin

Partie A – Modèle discret

La suite est définie par V₀ = 0 et V_n+1 = 0,995V_n + 6.

V1 = 6 V2 = 0,995 × 6 + 6 = 11,97

Programme attendu :

def volume(n):
v = 0
for k in range(n):
v = 0.995*v + 6
return v

Pour montrer que V_n ≤ 1200, on raisonne par récurrence. C’est vrai au rang 0. Si V_n ≤ 1200, alors :

Vn+1 ≤ 0,995 × 1200 + 6 = 1200

De plus, comme V_n ≤ 1200, on a :

V_n+1 – V_n = 6 – 0,005V_n ≥ 0

La suite est donc croissante et majorée par 1200. Elle converge vers une limite L vérifiant :

L = 0,995L + 6, donc L = 1200

Partie B – Modèle continu

L’équation différentielle est y’ = -0,005y + 6. Les solutions sont :

y(t) = Ce^-0,005t + 1200

Comme v(0) = 0, on obtient C = -1200, donc :

v(t) = 1200(1 – e^-0,005t)

La limite en +∞ vaut 1200. De plus :

v'(t) = 6e^-0,005t > 0

La fonction v est donc croissante.

Nettoyage et seuil de 50 litres

5 % du bassin de 30 000 litres représente 1500 litres. Or la limite du modèle est 1200 litres : selon ce modèle, le nettoyage complet lié au seuil de 5 % n’est pas nécessaire.

Pour le seuil de 50 litres :

1200(1 – e^-0,005t) > 50 e^-0,005t < 23/24 t > 200 ln(24/23)

On trouve environ 8,512 heures, soit environ 8 h 31 min.

Exercice 3 – Probabilités et dénombrement

Affirmation	Réponse	Justification
1. Si la personne choisie est une femme, la probabilité qu’elle joue de la Pop est 0,832.	Vraie	P(Pop ∩ F) = 0,52 × 0,32 = 0,1664. Donc P(Pop \| F) = 0,1664 / 0,20 = 0,832.
2. Pour X ~ B(5000 ; 0,062), P(X ≤ 340) ≈ 0,4.	Fausse	L’espérance vaut 310 et l’écart-type environ 17,1. 340 est presque à 1,8 écart-type au-dessus de la moyenne ; la probabilité est proche de 0,96, pas de 0,4.
3. Avec Bienaymé-Tchebychev, il y a plus de 95 % de chance que X soit strictement compris entre 230 et 390.	Vraie	Var(X) = 5000 × 0,062 × 0,938 = 290,78. Donc P(\|X – 310\| < 80) ≥ 1 – 290,78/80² ≈ 0,9546.
4. On peut former 120 équipes différentes.	Vraie	Une équipe contient 2 musiciens parmi 4 et 3 non-musiciens parmi 6 : C(4,2) × C(6,3) = 6 × 20 = 120.

À retenir : une affirmation de probabilité ne se juge pas “à l’intuition”. On identifie la loi, on calcule les paramètres, puis on compare avec la valeur annoncée.

Exercice 4 – Fonction exponentielle, logo et intégrale

Partie A – Lecture graphique

La tangente au point C d’abscisse 1 est horizontale, donc :

f'(1) = 0

La courbe coupe l’axe des abscisses en x = 1/2, donc la solution de f(x) = 0 sur [0 ; 3] est :

x = 1/2

La tangente en A(1/2 ; 0) passe par B(1 ; e²), donc :

f'(1/2) = (e² – 0) / (1 – 1/2) = 2e²

Les primitives de f sont les courbes C1 et C2 : elles décroissent quand f est négative, puis croissent quand f est positive, avec un minimum au voisinage de x = 1/2.

Partie B – Étude de f

La fonction est :

f(x) = (2x – 1)e^-2x+3

On peut écrire :

f(x) = e² × (2x – 1) / e^2x-1

Comme e^2x-1 domine 2x – 1 quand x tend vers +∞, on obtient :

lim f(x) = 0

La dérivée est :

f'(x) = (-4x + 4)e^-2x+3 = 4(1 – x)e^-2x+3

Comme l’exponentielle est toujours positive, le signe de f'(x) est celui de 1 – x. La fonction f est croissante sur [0 ; 1], puis décroissante sur [1 ; +∞[.

x	0	1	+∞
f	-e³	e	0

Valeur de α

La hauteur totale du logo vaut 0,3 cm. Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, la courbe du haut doit donc avoir une ordonnée 0,15. La contrainte se traduit par :

f(α) = 0,15

Sur [1 ; +∞[, f est continue et strictement décroissante, avec f(1) = e > 0,15 et lim f = 0 < 0,15. Il existe donc une unique valeur de α. Une valeur approchée est :

α ≈ 3,3

Partie C – Aire et volume du porte-clé

On admet, après intégration par parties sur [0,5 ; 3,3], que :

I = ∫_0,5^3,3 f(x) dx ≈ 3,6

L’aire du logo comprend la partie supérieure et son symétrique :

Aire du logo ≈ 2 × 3,6 = 7,2 cm²

L’épaisseur de la plaque est 0,2 cm, donc :

Volume ≈ 7,2 × 0,2 = 1,44 cm³

Arrondi au dixième :

Volume ≈ 1,4 cm³

Lexique des notions utiles

Vecteur normal

Vecteur orthogonal à tous les vecteurs directeurs d’un plan. Il permet d’écrire une équation cartésienne du plan.

Projeté orthogonal

Point d’un plan situé au pied de la perpendiculaire issue d’un point extérieur au plan.

Suite arithmético-géométrique

Suite définie par une relation du type u_n+1 = au_n + b.

Équation différentielle

Équation qui relie une fonction inconnue à sa dérivée. Ici, elle modélise l’évolution continue d’un volume.

Loi binomiale

Loi du nombre de succès dans une répétition indépendante de n expériences de même probabilité p.

Primitive

Une fonction F est une primitive de f lorsque F’ = f. Le signe de f donne donc le sens de variation de F.

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Corrigé Mathématiques Métropole 2026 – Jour 1

SCB — Mon, 29 Jun 2026 20:00:11 +0000

Corrigé Mathématiques Métropole 2026 – Jour 1

Bac 2026 • Mathématiques • Métropole Réunion Mayotte • Jour 1

Corrigé Mathématiques Métropole 2026 – Jour 1

Corrigé complet et pédagogique du sujet officiel de spécialité Mathématiques : probabilités, variables aléatoires, géométrie dans l’espace, dénombrement, équation différentielle, suite, Python, logarithme et calcul intégral.

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ProbabilitésBienaymé-TchebychevGéométrie espaceDénombrementÉquation différentielleSuitesLogarithmeIntégrales

En résumé : les résultats à connaître

Le sujet est très représentatif du bac : il oblige à passer d’un registre à l’autre. L’exercice 1 combine probabilités conditionnelles, variables aléatoires, espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. L’exercice 2 vérifie la maîtrise de la géométrie repérée dans l’espace et du dénombrement. L’exercice 3 mélange équation différentielle, suite récurrente et algorithme Python. L’exercice 4 porte sur une fonction logarithme, ses variations et une intégrale.

Exercice 1P(V∩C)=0,24 ; P(V|C)=0,32 ; E(X)=96 ; V(X)=3114 ; E(Z)=120 ; V(Z)=1728 ; n=320.

Exercice 2Affirmations : 1 vraie, 2 fausse, 3 vraie, 4 vraie.

Exercice 3T(t)=26−8e^−0,035t ; 20°C après environ 1 h 22 ; limite du refroidissement : 10°C ; Python renvoie 8.

Exercice 4a=1 ; b=4 ; maximum 1+4/e ; solution de f(x)=1,5 : x≈25,1 ; aire : 2+2(ln3)².

Conseil de copie : chaque réponse doit être justifiée. Pour les probabilités, écris la formule. Pour la géométrie, donne les vecteurs. Pour les fonctions, annonce la dérivée et son signe. C’est souvent la rédaction qui transforme une réponse correcte en réponse réellement valorisée.

Programme mobilisé dans ce sujet

Ce corrigé s’appuie sur le programme officiel de terminale générale : probabilités conditionnelles, variables aléatoires, espérance, variance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, géométrie dans l’espace, représentations paramétriques, équations de plans, suites, équations différentielles, logarithme et calcul intégral.

Le programme insiste aussi sur six compétences : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer. C’est exactement ce que demande ce sujet : ne pas seulement trouver un résultat, mais être capable de l’expliquer proprement.

Mots du lexique Mathématiques utiles pour ce sujet

La page du lexique Mathématiques sera ajoutée prochainement. En attendant, voici les notions essentielles à maîtriser pour comprendre le corrigé.

probabilité conditionnellearbre pondéréespérancevarianceindépendanceBienaymé-Tchebychevvecteur normalproduit scalairedénombrementéquation différentiellesuite récurrentelimitelogarithmeasymptoteprimitiveintégrale

Exercice 1 – Probabilités, variables aléatoires et Bienaymé-Tchebychev

Le contexte est celui d’une traversée maritime. On étudie d’abord les réservations de cabine et de véhicule, puis le montant payé par les familles pour des suppléments et des extras.

Partie A – Arbre de probabilités

1a. Donner P(C)

L’énoncé indique que 75 % des familles réservent une cabine.

P(C) = 0,75.

1b. Compléter l’arbre pondéré

On sait que 30 % des familles réservent un emplacement pour véhicule. Donc P(V)=0,30 et P(V̄)=0,70. Parmi les familles qui réservent un véhicule, 80 % réservent une cabine : P_V(C)=0,80 et P_V(C̄)=0,20.

Il reste à trouver P_V̄(C). On utilise la formule des probabilités totales :

P(C)=P(V∩C)+P(V̄∩C)
0,75=0,30×0,80+0,70×P_V̄(C)
0,75=0,24+0,70×P_V̄(C)
P_V̄(C)=0,51/0,70≈0,7286.

Arbre : P(V)=0,30 ; P(V̄)=0,70 ; P(C|V)=0,80 ; P(C̄|V)=0,20 ; P(C|V̄)≈0,73 ; P(C̄|V̄)≈0,27.

2. Probabilité de réserver un véhicule et une cabine

On multiplie la probabilité du premier événement par la probabilité conditionnelle du second.

P(V∩C)=P(V)×P_V(C)=0,30×0,80=0,24.

Conclusion : la probabilité qu’une famille réserve à la fois un véhicule et une cabine est 0,24, soit 24 %.

3. Probabilité de réserver un véhicule sachant qu’une cabine est réservée

On cherche P_C(V), c’est-à-dire P(V|C).

P_C(V)=P(V∩C)/P(C)=0,24/0,75=0,32.

Conclusion : parmi les familles qui réservent une cabine, 32 % réservent aussi un emplacement pour véhicule.

4. Déterminer P_V̄(C) et interpréter

Le calcul a déjà été obtenu en complétant l’arbre.

P_V̄(C)=0,51/0,70≈0,73.

Interprétation : parmi les familles qui ne réservent pas d’emplacement pour véhicule, environ 73 % réservent une cabine.

Partie B – Espérance, variance et réduction

1. Justifier E(X)=96 et V(X)=3114

La variable X donne le montant payé pour les suppléments. On utilise la loi de probabilité fournie.

E(X)=0×0,19+70×0,06+100×0,51+170×0,24
E(X)=0+4,2+51+40,8=96.

Pour la variance, on calcule d’abord E(X²).

E(X²)=0²×0,19+70²×0,06+100²×0,51+170²×0,24
E(X²)=294+5100+6936=12330.
V(X)=E(X²)−E(X)²=12330−96²=12330−9216=3114.

Conclusion : E(X)=96 et V(X)=3114.

2a. Justifier Z=0,6(X+Y)

Le total avant réduction est X+Y. Une remise de 40 % signifie que la famille paie 60 % du prix initial.

Z=60 % de (X+Y)=0,6(X+Y).

2b. En déduire E(Z) et V(Z)

On utilise la linéarité de l’espérance.

E(Z)=E(0,6(X+Y))=0,6(E(X)+E(Y))=0,6(96+104)=0,6×200=120.

Comme X et Y sont indépendantes, les variances s’additionnent.

V(X+Y)=V(X)+V(Y)=3114+1686=4800.
V(Z)=V(0,6(X+Y))=0,6²×4800=0,36×4800=1728.

Conclusion : E(Z)=120 et V(Z)=1728.

3a. Espérance et variance de M_n

La variable M_n est la moyenne de n variables indépendantes de même loi que Z.

M_n=(Z₁+Z₂+…+Z_n)/n.

Par linéarité :

E(M_n)=(n×E(Z))/n=120.

Comme les variables Z₁, …, Z_n sont indépendantes :

V(M_n)=V((Z₁+…+Z_n)/n)=1/n² × n × 1728 = 1728/n.

3b. Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On veut garantir :

P(114n<126) ≥ 0,85.

Comme l’espérance vaut 120, l’intervalle ]114 ; 126[ correspond à un écart strictement inférieur à 6 autour de 120.

P(114n<126)=P(|M_n−120|<6).

Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|M_n−120| ≥ 6) ≤ V(M_n)/6² = (1728/n)/36 = 48/n.

Donc :

P(|M_n−120|<6) ≥ 1−48/n.

On cherche 1−48/n ≥ 0,85.

1−48/n ≥ 0,85 ⇔ 48/n ≤ 0,15 ⇔ n ≥ 48/0,15 = 320.

Conclusion : le plus petit entier est n=320. Pour un échantillon d’au moins 320 familles, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’affirmer que le prix moyen payé après réduction a au moins 85 % de chances d’être compris entre 114 € et 126 €.

Exercice 2 – Géométrie dans l’espace et dénombrement

Chaque affirmation doit être déclarée vraie ou fausse avec une justification. C’est un exercice de rigueur : un résultat sans calcul explicite n’est pas suffisant.

Affirmation 1 : vraie

On calcule le vecteur directeur de la droite (AB).

A(3;0;2), B(2;1;−3)
AB→=(2−3 ; 1−0 ; −3−2)=(-1 ; 1 ; -5).

Le plan P a pour équation :

−x+y−5z−0,5=0.

Un vecteur normal à ce plan est donc :

n→=(-1 ; 1 ; -5).

Ce vecteur normal est exactement le vecteur AB→. Donc le plan P est orthogonal à la droite (AB).

Vérifions ensuite que le plan passe par le milieu de [AB].

M((3+2)/2 ; (0+1)/2 ; (2−3)/2)=(2,5 ; 0,5 ; −0,5).

On remplace dans l’équation du plan :

−2,5+0,5−5×(−0,5)−0,5 = −2+2,5−0,5=0.

Conclusion : le plan P est orthogonal à (AB) et passe par le milieu de [AB]. L’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : fausse

La droite d a pour représentation :

x=t ; y=−1,5−t ; z=2−2t.

La droite (AB) peut être paramétrée avec un réel s :

x=3−s ; y=s ; z=2−5s.

Si les droites étaient sécantes, il existerait t et s tels que les coordonnées soient égales.

t=3−s
−1,5−t=s
2−2t=2−5s

En utilisant t=3−s dans la deuxième équation :

−1,5−(3−s)=s ⇔ −4,5+s=s ⇔ −4,5=0.

C’est impossible.

Conclusion : les droites d et (AB) ne sont pas sécantes. L’affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3 : vraie

On veut calculer l’angle ACB. On utilise les vecteurs CA→ et CB→.

C(1,5 ; −3 ; −1)
CA→=A−C=(1,5 ; 3 ; 3)
CB→=B−C=(0,5 ; 4 ; −2).

Produit scalaire :

CA→·CB→=1,5×0,5+3×4+3×(−2)=0,75+12−6=6,75.

Normes :

||CA→||=√(1,5²+3²+3²)=√20,25=4,5.
||CB→||=√(0,5²+4²+(−2)²)=√20,25=4,5.

Donc :

cos(ACB)= (CA→·CB→)/(||CA→||×||CB→||)=6,75/(4,5×4,5)=6,75/20,25=1/3.

ACB = arccos(1/3) ≈ 70,5°.

Conclusion : l’affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4 : vraie

Pour la porte A, Clotilde doit saisir un code de 3 symboles différents dans l’ordre. Il y a donc :

8×7×6=336 codes possibles.

Sa probabilité de réussite au hasard est donc 1/336.

Pour la porte B, Titouan doit choisir 4 symboles différents, mais l’ordre n’importe pas. Il y a donc :

C(8,4)=8!/(4!4!)=70 codes possibles.

Sa probabilité de réussite est donc 1/70.

1/70 > 1/336.

Conclusion : Titouan a plus de chances d’ouvrir sa porte que Clotilde. L’affirmation 4 est vraie.

Exercice 3 – Chauffage : équation différentielle, suite et Python

Le problème modélise deux phases : la montée en température lorsque le chauffage fonctionne, puis le refroidissement lorsque le chauffage s’arrête.

Partie A – Phase de chauffage

1. Solutions de l’équation différentielle

L’équation est :

y′ = −0,035y + 0,91.

On cherche d’abord une solution constante y=L. Alors :

0=−0,035L+0,91 ⇔ L=0,91/0,035=26.

Les solutions sont donc :

y(t)=26+K e^−0,035t, où K est une constante réelle.

2. Déterminer T(t)

On sait que T(0)=18.

T(0)=26+K e⁰=26+K=18.

Donc K=-8.

T(t)=26−8e^−0,035t.

3. Temps nécessaire pour atteindre 20°C

On résout T(t)=20.

26−8e^−0,035t=20
8e^−0,035t=6
e^−0,035t=0,75.

On prend le logarithme :

−0,035t=ln(0,75)
t=−ln(0,75)/0,035≈8,22.

Attention : t est exprimé en dizaines de minutes. Cela représente donc environ 82,2 minutes.

Conclusion : la pièce atteint 20°C au bout d’environ 1 h 22 min.

4. La température peut-elle dépasser 28°C ?

La fonction T(t)=26−8e^−0,035t tend vers 26 lorsque t tend vers +∞. De plus, e^−0,035t est toujours positif, donc :

T(t)=26−8e^−0,035t < 26.

Conclusion : selon ce modèle, la température ne peut pas dépasser 28°C. Elle ne peut même pas atteindre 26°C.

Partie B – Phase de refroidissement

1. Montrer que u₁=19,72

On utilise la relation avec n=0 et u₀=20.

u₁=0,965×20+0,35+0,07e⁰
u₁=19,3+0,35+0,07=19,72.

2. Montrer par récurrence que u_n>10

Initialisation : u₀=20>10.

Hérédité : supposons u_n>10. Alors :

u_n+1=0,965u_n+0,35+0,07e^−0,1n.

Comme e^−0,1n>0, on a :

u_n+1 > 0,965×10+0,35 = 9,65+0,35=10.

Conclusion : pour tout entier naturel n, u_n>10.

3. Convergence de la suite

L’énoncé admet que la suite est décroissante. On vient de montrer qu’elle est minorée par 10. Une suite décroissante et minorée est convergente.

Conclusion : la suite (u_n) converge.

4a. Équation vérifiée par la limite

On note ℓ la limite. Comme e^−0,1n tend vers 0, on passe à la limite dans la relation de récurrence :

ℓ = 0,965ℓ + 0,35.

4b. Déterminer et interpréter la limite

ℓ−0,965ℓ=0,35
0,035ℓ=0,35
ℓ=10.

Interprétation : si le chauffage ne se remet pas en marche, la température de la pièce tend vers 10°C selon ce modèle.

5a. Compléter le programme Python

Le programme doit continuer tant que la température est strictement supérieure à 18°C. Dès que u≤18, le chauffage se remet en marche.

from math import exp

def marche():
    n = 0
    u = 20
    while u > 18:
        u = 0.965*u + 0.35 + 0.07*exp(-0.1*n)
        n = n + 1
    return n

5b. Déterminer le temps de remise en marche

En calculant les premiers termes :

u₇≈18,12 > 18
u₈≈17,87 ≤ 18.

Conclusion : le programme renvoie n=8. Le chauffage se remet en marche au bout de 8 dizaines de minutes, soit 80 minutes.

Exercice 4 – Fonction logarithme, variations et intégrale

On étudie une fonction définie par une expression logarithmique. L’exercice combine lecture graphique, calcul de dérivée, signe, asymptote, équation et intégrale.

Partie A – Déterminer a et b

1. Justifier que a=1

Le point A(0 ; 1) appartient à la courbe. Or :

f(0)=a + b ln(1)/1 = a + 0 = a.

Comme f(0)=1, on obtient :

a=1.

2a. Donner f′(0) par lecture graphique

La droite T_A est la tangente à la courbe au point A. Son coefficient directeur se lit sur le graphique. Elle monte d’environ 4 unités quand x augmente d’une unité.

f′(0)=4.

2b. Donner le signe de f′′(1)

Au voisinage de x=1, la courbe est concave : elle est tournée vers le bas. Cela signifie que la dérivée seconde est négative.

f′′(1)<0.

3a. Calculer f′(x)

Comme a est constant, sa dérivée est nulle. On dérive :

g(x)=ln(x+1)/(x+1).

Avec la formule du quotient :

g′(x)=((1/(x+1))(x+1)−ln(x+1))/(x+1)²
g′(x)=(1−ln(x+1))/(x+1)².

Donc :

f′(x)= b(1−ln(x+1))/(x+1)².

3b. En déduire b

On évalue la dérivée en 0 :

f′(0)=b(1−ln(1))/1²=b.

Or la lecture graphique a donné f′(0)=4.

b=4.

Partie B – Étude de f(x)=1+4ln(x+1)/(x+1)

1. Asymptote horizontale

Quand x tend vers +∞, ln(x+1)/(x+1) tend vers 0 par croissance comparée.

lim_x→+∞ f(x)=1.

Conclusion : la droite d’équation y=1 est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.

2. Résoudre 1−ln(x+1)>0

1−ln(x+1)>0 ⇔ ln(x+1)<1.

Comme la fonction exponentielle est croissante :

x+1

En tenant compte du domaine x>−1 :

Solution : ]−1 ; e−1[.

3. Tableau de variation complet

On utilise :

f′(x)=4(1−ln(x+1))/(x+1)².

Le dénominateur est toujours strictement positif sur ]−1 ; +∞[. Le signe de f′ dépend donc uniquement de 1−ln(x+1).

f′(x)>0 sur ]−1 ; e−1[.
f′(x)=0 pour x=e−1.
f′(x)<0 sur ]e−1 ; +∞[.

On connaît aussi :

lim_x→−1 f(x)=−∞ ; lim_x→+∞ f(x)=1.

La valeur de l’extremum est :

f(e−1)=1+4ln(e)/e=1+4/e.

Conclusion : f est croissante sur ]−1 ; e−1], puis décroissante sur [e−1 ; +∞[. Elle admet un maximum égal à 1+4/e.

4. Résoudre f(x)=1,5 sur [2 ; +∞[

Sur [2 ; +∞[, on a 2>e−1, donc f est strictement décroissante. De plus :

f(2)=1+4ln(3)/3≈2,46 > 1,5.

Et :

lim_x→+∞ f(x)=1 < 1,5.

Par continuité et stricte décroissance, l’équation f(x)=1,5 admet une unique solution dans [2 ; +∞[.

x≈25,1.

Conclusion : l’unique solution est environ 25,1.

5a. Calculer l’intégrale

On remarque que la dérivée de ln(x+1) est 1/(x+1). On peut poser u=ln(x+1).

∫₀² ln(x+1)/(x+1) dx = [1/2(ln(x+1))²]₀²
=1/2(ln3)²−1/2(ln1)²
=1/2(ln3)².

5b. Aire du domaine

Sur [0 ; 2], la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses. L’aire cherchée vaut donc :

A=∫₀² f(x) dx.

On remplace f(x) par son expression :

A=∫₀² [1+4ln(x+1)/(x+1)] dx
A=∫₀²1 dx + 4∫₀²ln(x+1)/(x+1) dx
A=2+4×1/2(ln3)².

Conclusion : l’aire vaut 2+2(ln3)² unités d’aire.

Méthodes et conseils pour réussir ce sujet

ProbabilitésUn arbre se complète avec les probabilités conditionnelles. Pour retrouver une branche inconnue, utilise la formule des probabilités totales.

Variables aléatoiresPour une transformation aX, l’espérance est multipliée par a, mais la variance est multipliée par a².

Bienaymé-TchebychevTransforme toujours l’intervalle demandé en écart à l’espérance : ici ]114 ; 126[ devient |M_n−120|<6.

Géométrie espaceUne équation ax+by+cz+d=0 donne directement un vecteur normal (a ; b ; c).

Équations différentiellesPour y′=ay+b, commence par chercher la solution constante, puis ajoute Ke^at.

FonctionsLe signe de la dérivée donne les variations. Le signe de la dérivée seconde indique la convexité ou la concavité.

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FAQ – Corrigé Mathématiques Métropole 2026 jour 1

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Corrigé Maths Antilles 2026 – Jour 2

SCB — Sun, 21 Jun 2026 14:56:29 +0000

Corrigé Mathématiques Antilles 2026 – Jour 2

Bac général 2026 • Spécialité Mathématiques • Antilles-Guyane

Corrigé Mathématiques Antilles 2026 – Jour 2

Ce corrigé Mathématiques Antilles 2026 jour 2 reprend intégralement les quatre exercices du sujet : probabilités, chaîne de relais, loi binomiale, géométrie dans l’espace, équations différentielles, convexité, logarithme et intégrales. Chaque réponse est détaillée pour montrer non seulement le résultat, mais surtout la méthode attendue dans une copie de bac.

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ProbabilitésLoi binomialeBienaymé-TchebychevGéométrie espaceÉquations différentiellesLogarithmeIntégrales

En résumé : les quatre exercices du corrigé Mathématiques Antilles 2026

Le sujet de spécialité mathématiques Antilles-Guyane jour 2 comporte quatre exercices indépendants et dure 4 heures. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le programme officiel de terminale met précisément l’accent sur les compétences chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer : ce corrigé les reprend à chaque étape.

Exercice 1Probabilités conditionnelles, loi binomiale, espérance, variance, inégalité de concentration et suite.

Exercice 2Géométrie repérée dans l’espace, aire, volume, vecteur normal et angle.

Exercice 3Équations différentielles, convexité, asymptote horizontale et vérification directe.

Exercice 4Logarithme, dérivées, convexité, primitive, intégrale et valeur moyenne.

Conseil de copie : en spécialité mathématiques, un résultat juste sans justification peut rapporter peu. Il faut nommer l’outil, écrire la formule, effectuer le calcul, puis conclure dans le contexte.

Programme mobilisé dans ce sujet de bac Mathématiques

Ce sujet correspond très bien au programme de terminale générale. L’exercice 1 utilise les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’espérance, la variance et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. L’exercice 2 mobilise la géométrie dans l’espace : vecteurs, plans, produit scalaire, projeté orthogonal et angle. L’exercice 3 vérifie les réflexes sur les équations différentielles, les fonctions convexes et les limites. Enfin, l’exercice 4 combine logarithme, dérivées première et seconde, lecture graphique, primitive et valeur moyenne.

Le corrigé Mathématiques Antilles 2026 ci-dessous ne se limite donc pas à donner les réponses : il montre comment rédiger de façon claire, exactement comme attendu dans une copie de terminale.

Mots du lexique Mathématiques utiles pour ce sujet

La page de lexique Mathématiques sera ajoutée prochainement. En attendant, voici les notions à maîtriser pour comprendre le corrigé.

probabilité conditionnelleloi binomialeespérancevarianceBienaymé-Tchebychevsuite monotonevecteur normalprojeté orthogonaléquation différentielleconvexitéasymptotelogarithmeprimitivevaleur moyenne

Exercice 1 – Probabilités, loi binomiale et suite récurrente

L’exercice porte sur un réseau de communication composé de relais. Il faut comprendre comment une erreur peut se transmettre ou être corrigée, puis utiliser un modèle binomial et une suite récurrente.

Partie A – Arbre pondéré et probabilité conditionnelle

1. Arbre pondéré complété

On sait que P(A₁) = 0,96, donc P(Ā₁) = 0,04. Si le message reçu est sans erreur, il est transmis sans erreur avec une probabilité 0,94 ; sinon il est transmis avec erreur avec une probabilité 0,06. Si le message reçu comporte des erreurs, celles-ci sont corrigées avec une probabilité 0,35 ; sinon elles restent présentes avec une probabilité 0,65.

P(A₂ | A₁) = 0,94 ; P(Ā₂ | A₁) = 0,06 ; P(A₂ | Ā₁) = 0,35 ; P(Ā₂ | Ā₁) = 0,65.

2. Montrer que P(A₂) = 0,9164

On utilise la formule des probabilités totales en distinguant les deux cas : le message reçu par le premier relais est sans erreur ou comporte une erreur.

P(A₂) = P(A₁ ∩ A₂) + P(Ā₁ ∩ A₂)
P(A₂) = 0,96 × 0,94 + 0,04 × 0,35 = 0,9024 + 0,014 = 0,9164.

Conclusion : la probabilité que le message reçu par le deuxième relais soit sans erreur est bien égale à 0,9164.

3. Calculer P_A2(A₁) et interpréter

On cherche la probabilité que le message ait déjà été sans erreur au premier relais sachant qu’il est sans erreur au deuxième relais.

P_A2(A₁) = P(A₁ ∩ A₂) / P(A₂) = 0,9024 / 0,9164 ≈ 0,9847.

Interprétation : parmi les messages reçus sans erreur par le deuxième relais, environ 98,47 % étaient déjà sans erreur au premier relais.

Partie B – Loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1a. Probabilité que 4 tests soient positifs

La variable X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,04. On utilise donc la formule de la loi binomiale.

P(X = 4) = C(50,4) × 0,04⁴ × 0,96⁴⁶ ≈ 0,0902.

Réponse arrondie à 10^-2 : P(X = 4) ≈ 0,09.

1b. Probabilité qu’au moins un test soit positif

Il est plus simple de passer par l’événement contraire : aucun test n’est positif.

P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,96⁵⁰ ≈ 0,8701.

Réponse arrondie à 10^-2 : P(X ≥ 1) ≈ 0,87.

1c. Espérance et variance

Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n ; p), on a E(X) = np et V(X) = np(1 – p).

E(X) = 50 × 0,04 = 2.
V(X) = 50 × 0,04 × 0,96 = 1,92.

Conclusion : on attend en moyenne 2 tests positifs sur 50, avec une variance de 1,92.

2a. Espérance et variance de M

La variable M est la moyenne des 25 variables X₁, X₂, …, X₂₅. Par linéarité de l’espérance :

E(M) = (E(X₁) + … + E(X₂₅)) / 25 = (25 × 2) / 25 = 2.

Comme les variables sont indépendantes, les variances s’additionnent.

V(M) = V((X₁ + … + X₂₅) / 25) = (1 / 25²) × 25 × 1,92 = 48 / 625 = 0,0768.

2b. Utiliser Bienaymé-Tchebychev

On veut montrer que P(M < 7) est supérieure à 0,99. L’indication permet d’écrire :

P(M < 7) = P(-3 < M < 7) = P(|M – 2| < 5).

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

P(|M – E(M)| ≥ 5) ≤ V(M) / 5² = 0,0768 / 25 = 0,003072.

Donc :

P(|M – 2| < 5) ≥ 1 – 0,003072 = 0,996928.

Conclusion : P(M < 7) ≥ 0,996928, donc P(M < 7) > 0,99.

Partie C – Suite récurrente

1. Montrer par récurrence que p_n+1 ≤ p_n

On a p₁ = 0,96 et p₂ = 0,59 × 0,96 + 0,35 = 0,9164. Donc p₂ ≤ p₁ : l’initialisation est vraie.

Supposons maintenant que p_n+1 ≤ p_n. Comme 0,59 est positif, on peut multiplier l’inégalité par 0,59 :

0,59 p_n+1 ≤ 0,59 p_n.

En ajoutant 0,35 aux deux membres :

0,59 p_n+1 + 0,35 ≤ 0,59 p_n + 0,35.

Donc p_n+2 ≤ p_n+1. La propriété est héréditaire.

Conclusion : pour tout n ≥ 1, p_n+1 ≤ p_n.

2. Montrer que la suite est convergente

La suite (p_n) est décroissante. De plus, chaque p_n est une probabilité, donc p_n ≥ 0. Une suite décroissante et minorée est convergente.

Conclusion : la suite (p_n) converge.

3. Déterminer la limite exacte

Si la suite converge vers une limite ℓ, alors en passant à la limite dans la relation p_n+1 = 0,59p_n + 0,35, on obtient :

ℓ = 0,59ℓ + 0,35.
0,41ℓ = 0,35.
ℓ = 0,35 / 0,41 = 35 / 41.

Conclusion : la limite exacte de la suite est 35/41.

Exercice 2 – Géométrie dans l’espace : tétraèdre et sécurité

On modélise un module d’escalade par le tétraèdre ABCD dans un repère orthonormé. Les coordonnées sont : A(0 ; 0 ; 0), B(9/2 ; 0 ; 0), C(9/4 ; 3 ; 0) et D(3/2 ; 1 ; 3).

Partie A – Base, hauteur et volume

1a. Montrer que ABC est isocèle en C

On calcule les longueurs CA et CB.

CA² = (9/4)² + 3² = 81/16 + 9 = 225/16, donc CA = 15/4 = 3,75.

CB² = (9/2 – 9/4)² + (0 – 3)² = (9/4)² + 9 = 225/16, donc CB = 15/4 = 3,75.

Conclusion : CA = CB, donc le triangle ABC est isocèle en C.

1b. Aire du triangle ABC

Le segment AB est porté par l’axe des abscisses et mesure 9/2 m. La hauteur issue de C vers AB vaut 3 m, car C a pour ordonnée 3.

Aire(ABC) = (AB × hauteur) / 2 = ((9/2) × 3) / 2 = 27/4 = 6,75 m².

Conclusion : l’aire du triangle ABC est 6,75 m².

2a. Équation du plan (ABC)

Les points A, B et C ont tous une coordonnée z égale à 0. Le plan qui les contient est donc le plan horizontal d’équation :

z = 0.

2b. Projeté orthogonal de D sur le plan (ABC)

Le point H(3/2 ; 1 ; 0) appartient au plan z = 0. De plus, D(3/2 ; 1 ; 3) et H ont les mêmes coordonnées x et y : le vecteur DH est vertical.

DH = (0 ; 0 ; -3).

Ce vecteur est orthogonal au plan z = 0. Ainsi, H est bien le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3. Volume du module

La base choisie est le triangle ABC, d’aire 6,75 m². La hauteur correspondante est DH = 3 m.

V = (1/3) × base × hauteur = (1/3) × 6,75 × 3 = 6,75 m³.

Conclusion : le volume du module est 6,75 m³.

Partie B – Plan (BCD), droite orthogonale et angle

1a. Montrer que n⃗ est normal au plan (BCD)

On considère n⃗ = (4 ; 3 ; 3). Pour montrer que n⃗ est normal au plan (BCD), on vérifie qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple BC et BD.

BC = C – B = (-9/4 ; 3 ; 0).
BD = D – B = (-3 ; 1 ; 3).

n⃗ · BC = 4×(-9/4) + 3×3 + 3×0 = -9 + 9 = 0.
n⃗ · BD = 4×(-3) + 3×1 + 3×3 = -12 + 3 + 9 = 0.

Conclusion : n⃗ est orthogonal à deux directions du plan (BCD), donc n⃗ est un vecteur normal à ce plan.

1b. Équation cartésienne du plan (BCD)

Comme n⃗ = (4 ; 3 ; 3) est un vecteur normal, une équation du plan est de la forme :

4x + 3y + 3z + d = 0.

Le point B(9/2 ; 0 ; 0) appartient au plan :

4×(9/2) + d = 0, donc 18 + d = 0, donc d = -18.

Conclusion : une équation du plan (BCD) est 4x + 3y + 3z – 18 = 0.

1c. Représentation paramétrique de la droite Δ

La droite Δ est orthogonale au plan (BCD), donc elle a pour vecteur directeur n⃗ = (4 ; 3 ; 3). Elle passe par D(3/2 ; 1 ; 3).

Δ : x = 3/2 + 4t ; y = 1 + 3t ; z = 3 + 3t, avec t ∈ ℝ.

2. Coordonnées du point L

Le point L appartient au plan (ABC), donc z = 0. Dans la représentation de Δ :

3 + 3t = 0, donc t = -1.

On remplace t par -1 :

x = 3/2 – 4 = -5/2 ; y = 1 – 3 = -2 ; z = 0.

Conclusion : L a pour coordonnées (-5/2 ; -2 ; 0).

3. Montrer que le module est adapté aux débutants

Il faut montrer que l’angle L D H est strictement inférieur à 60°. On utilise les vecteurs DL et DH.

DL = L – D = (-4 ; -3 ; -3).
DH = H – D = (0 ; 0 ; -3).

DL · DH = 9.
||DL|| = √34 et ||DH|| = 3.

Donc :

cos( L D H ) = 9 / (3√34) = 3 / √34.

Or 3/√34 > 1/2 car 6 > √34. Donc cos(L D H) > cos(60°). Sur [0° ; 180°], plus le cosinus est grand, plus l’angle est petit.

Conclusion : l’angle L D H est strictement inférieur à 60°, donc le module est adapté aux débutants.

Exercice 3 – Vrai/Faux : équations différentielles, convexité et asymptote

Chaque affirmation doit être justifiée. Une simple réponse « vrai » ou « faux » ne suffit pas.

Affirmation 1

L’équation différentielle est y′ + 2y = 0, soit y′ = -2y. Les solutions sont de la forme :

f(x) = C e^-2x.

Comme f(0) = 1, on a C = 1. Donc f(x) = e^-2x. On calcule :

f(ln 2) = e^{-2 ln 2} = e^{ln(2^-2)} = 1/4.

Conclusion : le point (ln 2 ; 1/2) n’appartient pas à la courbe. L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2

On considère f(x) = x – cos(x) sur [π/2 ; π]. On calcule :

f′(x) = 1 + sin(x), puis f″(x) = cos(x).

Sur [π/2 ; π], on a cos(x) ≤ 0. La fonction est donc concave sur cet intervalle. Une fonction concave a sa courbe située en dessous de ses tangentes, et non au-dessus.

Conclusion : l’affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3

On considère f(x) = 1 + sin(x)/x sur ]0 ; +∞[. Comme -1 ≤ sin(x) ≤ 1, on a :

-1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x.

Lorsque x tend vers +∞, les deux bornes tendent vers 0. Par encadrement :

sin(x)/x → 0, donc f(x) → 1.

Conclusion : la droite y = 1 est une asymptote horizontale de la courbe. L’affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4

On teste directement la fonction f(x) = 2x – e^3x dans l’équation y′ – 3y = 2 – 6x.

f′(x) = 2 – 3e^3x.

f′(x) – 3f(x) = 2 – 3e^3x – 3(2x – e^3x) = 2 – 3e^3x – 6x + 3e^3x = 2 – 6x.

Conclusion : f est bien solution de l’équation différentielle. L’affirmation 4 est vraie.

Exercice 4 – Logarithme, dérivées, convexité et valeur moyenne

On étudie la famille de fonctions f_k définies sur ]0 ; +∞[ par :

f_k(x) = 1 – x + k(1 + ln x)/x, avec k > 0.

Partie A – Cas k = 2 : lecture graphique

1. Variations d’une primitive F₂ sur ]0 ; 3]

Si F₂ est une primitive de f₂, alors F′₂ = f₂. Les variations de F₂ dépendent donc du signe de f₂. D’après le graphique, la courbe de f₂ est sous l’axe des abscisses près de 0, puis au-dessus de l’axe, puis à nouveau en dessous après environ 2,5.

Réponse avec la précision graphique : F₂ décroît sur ]0 ; environ 0,3], croît sur [environ 0,3 ; environ 2,5], puis décroît sur [environ 2,5 ; 3].

2. Identifier f′₂ et f″₂

La courbe de f₂ augmente d’abord, puis atteint un maximum, puis décroît : sa dérivée f′₂ doit donc être positive au début, s’annuler, puis devenir négative. Parmi les courbes proposées, cela correspond à la courbe 1.

Le point A est un point d’inflexion de C₂. La dérivée seconde f″₂ doit donc s’annuler en l’abscisse de A et changer de signe. La courbe qui correspond à ce comportement est la courbe 2.

Conclusion : f′₂ est représentée par la courbe 1 et f″₂ par la courbe 2.

Partie B – Cas k = 1 : étude analytique

1a. Dérivée de f₁

On a :

f₁(x) = 1 – x + (1 + ln x)/x.

On dérive le terme (1 + ln x)/x comme un produit : (1 + ln x) × x^-1.

[(1 + ln x)/x]′ = (1/x) × x^-1 + (1 + ln x)(-x^-2) = 1/x² – (1 + ln x)/x² = -ln x/x².

Conclusion : f′₁(x) = -1 – ln(x)/x².

1b. Limite de f′₁ en +∞

On sait que ln(x)/x² tend vers 0 lorsque x tend vers +∞.

f′₁(x) = -1 – ln(x)/x² → -1.

Conclusion : la limite de f′₁(x) en +∞ est -1.

2a. Justifier les variations de f′₁ et la valeur de l’extremum

On admet que :

f″₁(x) = (2 ln x – 1)/x³.

Comme x³ > 0 sur ]0 ; +∞[, le signe de f″₁ est celui de 2 ln x – 1. On résout :

2 ln x – 1 = 0 ⇔ ln x = 1/2 ⇔ x = e^1/2 = √e.

Ainsi, f″₁ est négative sur ]0 ; √e[, puis positive sur ]√e ; +∞[. Donc f′₁ décroît puis croît. Sa valeur minimale est :

f′₁(√e) = -1 – (1/2)/e = -1 – 1/(2e).

2b. Limite de f′₁ en 0

Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers -∞. Donc -ln(x)/x² tend vers +∞.

f′₁(x) = -1 – ln(x)/x² → +∞.

Conclusion : la limite de f′₁ en 0 est +∞.

2c. Unique solution α et maximum de f₁

La fonction f′₁ est continue sur ]0 ; +∞[. Elle part de +∞ lorsque x tend vers 0, puis décroît jusqu’à une valeur négative, et ensuite croît vers -1, qui reste négatif. Elle coupe donc l’axe des abscisses une seule fois.

Conclusion : il existe une unique solution α à l’équation f′₁(x) = 0. La fonction f₁ est croissante sur ]0 ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[, donc elle admet un maximum en α.

2d. Programme Python à compléter

On part de u = 0,5. À cette valeur, d(u) est positif. Il faut donc augmenter u de 0,01 jusqu’à ce que d(u) ne soit plus positif.

def d(x):
    return -1-ln(x)/x**2

def alpha():
    u = 0.5
    while d(u) > 0:
        u = u + 0.01
    return u

Réponse : les pointillés sont > et u + 0.01. Le programme renvoie une valeur approchée de α à 10^-2 près.

Partie C – Cas k quelconque

1. Montrer que H est une primitive de h

On a h(x) = (1 + ln x)/x et H(x) = 1/2(1 + ln x)². On dérive H :

H′(x) = 1/2 × 2(1 + ln x) × 1/x = (1 + ln x)/x = h(x).

Conclusion : H est bien une primitive de h sur ]0 ; +∞[.

2. Existe-t-il une valeur de k pour laquelle la valeur moyenne est nulle ?

La valeur moyenne de f_k sur [1 ; e] est nulle si et seulement si :

∫₁^e f_k(x) dx = 0.

On calcule séparément les termes :

∫₁^e (1 – x) dx = [x – x²/2]₁^e = e – e²/2 – 1/2.

De plus, comme H est une primitive de h :

∫₁^e h(x) dx = H(e) – H(1) = 1/2(1 + 1)² – 1/2(1 + 0)² = 2 – 1/2 = 3/2.

Donc :

∫₁^e f_k(x) dx = e – e²/2 – 1/2 + (3/2)k.

On veut que cette expression soit nulle :

e – e²/2 – 1/2 + (3/2)k = 0.
(3/2)k = (e² + 1)/2 – e = (e – 1)²/2.
k = (e – 1)² / 3.

Conclusion : oui, il existe une valeur de k : k = (e – 1)² / 3. Cette valeur est bien strictement positive.

Méthode : comment gagner des points sur ce sujet

ProbabilitésConstruire les événements, écrire les intersections puis seulement calculer. Pour la loi binomiale, identifier n, p et la variable X.

SuitesPour une récurrence, écrire initialisation, hérédité, conclusion. Pour la convergence, associer monotonie et borne.

GéométrieNe pas deviner : calculer les vecteurs, les produits scalaires, les normes et les équations de plans.

Vrai/FauxChaque affirmation doit être démontrée. Un contre-exemple ou un calcul exact suffit pour réfuter.

AnalyseRelier le signe de f, f′ et f″ aux variations, aux extrema, à la convexité et aux points d’inflexion.

IntégralesPour une valeur moyenne, commencer par l’intégrale sur l’intervalle, puis diviser par la longueur de l’intervalle si nécessaire.

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Compléter ses révisions en Mathématiques

Après ce sujet, il est utile de refaire un sujet complet dans des conditions proches du bac, puis de reprendre les chapitres qui ont posé problème. La page des sujets de mathématiques permet de comparer les centres et les années afin de repérer les exercices récurrents : probabilités, géométrie dans l’espace, suites, logarithme, convexité et intégrales.

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FAQ – Corrigé Mathématiques Antilles-Guyane 2026 jour 2

Quels exercices composent ce sujet de Mathématiques Antilles 2026 jour 2 ?

Corrigé Maths Antilles 2026 – Jour 1

SCB — Thu, 18 Jun 2026 20:06:17 +0000

Corrigé Maths Antilles 2026 – Jour 1

Bac général 2026 • Spécialité mathématiques • Antilles-Guyane • Jour 1

Corrigé Maths Antilles 2026 jour 1

Cette correction reprend toutes les questions du sujet officiel : probabilités, variables aléatoires, équation différentielle, suite récurrente, géométrie dans l’espace, logarithme, convexité et intégration.

ProbabilitésBienaymé-TchebychevSuitesÉquation différentielleGéométrie 3DIntégrales

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En résumé : les résultats essentiels

RéacteursLa probabilité de contrôle en fonctionnement normal vaut 0,2. La production totale est dans l’intervalle requis avec une probabilité supérieure à 0,80.

MédicamentLe protocole continu devient toxique après environ 6,5 h. Le protocole discret converge vers 2,5 mg et reste sans risque.

GéométrieLes affirmations sont successivement vraie, fausse, vraie et vraie.

AnalyseLe point d’inflexion est (1 ; 0) et l’aire vaut (15/8)ln(3) − 1.

Analyse du sujet : les compétences évaluées

Le sujet couvre une grande partie du programme officiel de terminale. Il demande d’abord de modéliser une situation par un arbre pondéré et des variables aléatoires, puis d’utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. L’exercice 2 fait dialoguer le continu et le discret : équation différentielle pour une perfusion continue, suite récurrente pour des injections horaires. L’exercice 3 vérifie la maîtrise des vecteurs, produits scalaires, représentations paramétriques et projections orthogonales. Enfin, l’exercice 4 mobilise la lecture graphique, le logarithme, la dérivée seconde, le point d’inflexion et l’intégration par parties.

Attente centrale du jury : ne pas donner seulement un résultat numérique. Il faut annoncer la propriété utilisée, effectuer les calculs lisiblement et conclure dans le contexte.

Exercice 1 – Probabilités et production nucléaire (4 points)

Partie A – Contrôle d’un réacteur

1. Compléter l’arbre de probabilités

On a 20 % de réacteurs à l’arrêt et 5 % au ralenti. La probabilité de fonctionnement normal est donc :

P(N) = 1 − 0,20 − 0,05 = 0,75.

Les probabilités conditionnelles à placer sont :

P_A(C)=0,85 ; P_A(C̄)=0,15 ; P_R(C)=0,60 ; P_R(C̄)=0,40 ; P_N(C)=x ; P_N(C̄)=1−x.

2. Probabilité que le réacteur soit arrêté et contrôlé

La probabilité d’un chemin dans un arbre est le produit des probabilités rencontrées :

P(A ∩ C) = P(A) × P_A(C) = 0,20 × 0,85 = 0,17.

Réponse : la probabilité cherchée est 0,17, soit 17 %.

3. Déterminer x

Les événements A, R et N forment une partition. La formule des probabilités totales donne :

P(C)=P(A)P_A(C)+P(R)P_R(C)+P(N)P_N(C).0,35 = 0,20×0,85 + 0,05×0,60 + 0,75x = 0,20 + 0,75x.

Ainsi 0,75x = 0,15, donc :

x = 0,20.

4. Probabilité de fonctionnement normal sachant que le réacteur est contrôlé

On cherche P_C(N). Par définition :

P_C(N) = P(N ∩ C) / P(C) = [P(N)P_N(C)] / 0,35.P_C(N) = (0,75×0,20)/0,35 = 0,15/0,35 = 3/7 ≈ 0,429.

Réponse : sachant que le réacteur est contrôlé, la probabilité qu’il fonctionne normalement vaut 3/7, soit environ 42,9 %.

Partie B – Production des douze réacteurs

1.a. Loi de la variable X

Production k, en GWh	0	10	16
P(X=k)	0,20	0,05	0,75

1.b. Espérance et variance

E(X)=0×0,20 + 10×0,05 + 16×0,75 = 0,5 + 12 = 12,5.

Calculons d’abord E(X²) :

E(X²)=0²×0,20 + 10²×0,05 + 16²×0,75 = 5 + 192 = 197.V(X)=E(X²)−[E(X)]²=197−12,5²=197−156,25=40,75.

2.a. Espérance et variance de S

Par linéarité de l’espérance :

E(S)=E(X₁)+…+E(X₁₂)=12×12,5=150.

Les variables étant indépendantes, les variances s’additionnent :

V(S)=12×40,75=489.

2.b. Probabilité d’une production comprise strictement entre 100 et 200 GWh

La production est conforme lorsque 100 < S < 200, c’est-à-dire lorsque |S−150| < 50. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :

P(|S−E(S)| ≥ 50) ≤ V(S)/50² = 489/2500 = 0,1956.

Par passage à l’événement contraire :

P(|S−150| < 50) ≥ 1−0,1956 = 0,8044.

Conclusion : oui, on peut affirmer que la probabilité recherchée est supérieure à 0,80, puisqu’elle est au moins égale à 0,8044.

Erreur fréquente : oublier que l’inégalité fournit une borne, pas la probabilité exacte. Ici, cette borne inférieure suffit pour répondre à la question.

Exercice 2 – Médicament : équation différentielle et suite (6 points)

Partie A – Premier protocole : perfusion continue

1. Résoudre l’équation différentielle

L’équation est y′ = −(3/10)y + 1. Une solution particulière constante vaut 10/3. Les solutions sont donc :

y(t)=10/3 + C e^−3t/10, avec C ∈ ℝ.

2. Expression de q

Comme q(0)=1 :

1 = 10/3 + C, donc C = −7/3.

Ainsi : q(t)=10/3 − (7/3)e^−3t/10.

3. Limite en +∞

Lorsque t tend vers +∞, e^−3t/10 tend vers 0. Donc :

lim q(t) = 10/3 ≈ 3,33 mg.

À long terme, la quantité présente dans le sang se stabilise théoriquement vers 10/3 mg.

4. Variations de q

q′(t)= (7/10)e^−3t/10.

L’exponentielle est strictement positive, donc q′(t)>0 pour tout t≥0. La fonction q est strictement croissante de q(0)=1 vers 10/3.

5. À partir de quand apparaît le risque ?

Le risque apparaît lorsque q(t)≥3 :

10/3 − (7/3)e^−3t/10 ≥ 31 ≥ 7e^−3t/10 ⇔ e^−3t/10 ≤ 1/7.

La fonction logarithme étant croissante :

−3t/10 ≤ ln(1/7)=−ln(7), donc t ≥ (10/3)ln(7).

Valeur exacte : (10/3)ln(7) heures. Valeur approchée : environ 6,5 heures.

6. Le protocole présente-t-il un risque ?

Le traitement doit durer au moins 7 heures, alors que le seuil de 3 mg est atteint au bout d’environ 6,5 heures.

Conclusion : oui, ce protocole présente un risque pour le patient avant la fin de la durée minimale du traitement.

Partie B – Second protocole : injections horaires

1. Relation de récurrence

Après une heure, il reste 70 % de la quantité précédente, puis on ajoute 0,75 mg :

u_n+1=0,7u_n+0,75.

2.a. Montrer que uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 4

Initialisation : u₀=1 et u₁=0,7×1+0,75=1,45. Ainsi u₀≤u₁≤4.

Hérédité : supposons uₙ≤uₙ₊₁≤4. Comme 0,7>0 :

0,7uₙ+0,75 ≤ 0,7uₙ₊₁+0,75, donc uₙ₊₁≤uₙ₊₂.

De plus :

uₙ₊₂=0,7uₙ₊₁+0,75 ≤ 0,7×4+0,75=3,55≤4.

La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.

2.b. Convergence

La suite est croissante et majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge.

2.c. Limite

Notons ℓ sa limite. En passant à la limite dans la relation de récurrence :

ℓ=0,7ℓ+0,75 ⇔ 0,3ℓ=0,75 ⇔ ℓ=2,5.

2.d. Risque du second protocole

La suite est croissante et converge vers 2,5. Elle reste donc inférieure à 2,5 mg, et a fortiori inférieure au seuil de toxicité de 3 mg.

Conclusion : ce second protocole ne présente pas de risque selon le modèle.

3.a. Nature de la suite vₙ

Avec vₙ=uₙ−2,5 :

vₙ₊₁=uₙ₊₁−2,5=0,7uₙ+0,75−2,5=0,7(uₙ−2,5)=0,7vₙ.

La suite (vₙ) est géométrique de raison 0,7 et v₀=1−2,5=−1,5.

3.b. Expression explicite de uₙ

vₙ=−1,5×0,7ⁿ, donc uₙ=2,5−1,5×0,7ⁿ.

4. Dépasser 2,4 mg

2,5−1,5×0,7ⁿ > 2,4 ⇔ 0,7ⁿ < 1/15.

En prenant le logarithme, et puisque ln(0,7)<0 :

n > ln(1/15)/ln(0,7) ≈ 7,59.

Conclusion : le plus petit entier convenable est n=8. La quantité dépasse 2,4 mg après 8 injections supplémentaires.

Attention : lors de la division par ln(0,7), qui est négatif, le sens de l’inégalité doit être inversé.

Exercice 3 – Géométrie dans l’espace (4 points)

Affirmation 1 : SA est normal au plan (ABC)

Calculons les vecteurs :

SA=(3;0;3), AB=(−1;0;1), AC=(0;−√2;0).SA·AB=3×(−1)+0+3×1=0 ; SA·AC=0.

Le vecteur SA est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).

VRAIE SA est un vecteur normal au plan (ABC).

Affirmation 2 : les droites (SB) et d sont sécantes

Une représentation paramétrique de (SB) est :

x=−1+2t ; y=√2 ; z=−4+4t.

Pour appartenir à d, l’égalité des coordonnées y impose k=1. Sur d, le point correspondant est (1;√2;−2). Sur (SB), l’égalité x=1 impose t=1, mais la coordonnée z vaut alors 0. Il n’existe donc pas de couple (t,k) commun.

FAUSSE les droites ne sont pas sécantes.

Affirmation 3 : d est parallèle au plan P

Un vecteur directeur de d est u=(−1;√2;−1). Un vecteur normal à P est n=(1;0;−1).

u·n=−1+1=0.

La direction de d est orthogonale à un vecteur normal au plan. La droite est donc parallèle au plan. Elle n’est pas incluse dans P puisque le point (2;0;−1) de d ne vérifie pas l’équation du plan.

VRAIE d est strictement parallèle à P.

Affirmation 4 : H est le projeté orthogonal de S sur P

Vérifions que H appartient au plan :

−3−(−2)+1=0.

Ensuite :

SH=(−2;0;2)=−2(1;0;−1).

Le vecteur SH est colinéaire au vecteur normal n de P. La droite (SH) est donc perpendiculaire au plan P.

VRAIE H est bien le projeté orthogonal de S sur P.

Méthode : pour prouver qu’un point H est le projeté orthogonal de S sur un plan P, il faut vérifier deux conditions : H∈P et SH est normal à P.

Exercice 4 – Logarithme, convexité et intégration (6 points)

Partie A – Lecture graphique

1. Déterminer f′(1)

La tangente en A(1;0) passe par B(0;−2). Son coefficient directeur vaut :

f′(1)=(0−(−2))/(1−0)=2.

2. La fonction est-elle concave sur tout ]1/2;+∞[ ?

Non. La courbe change de courbure au point A : elle est concave avant x=1 puis convexe après x=1.

3. Déterminer f″(1)

Le point A est un point d’inflexion et f est deux fois dérivable. On lit donc :

f″(1)=0.

Partie B – Étude de f(x)=x ln(2x−1)

1. Limite en 1/2 par valeurs supérieures

Lorsque x tend vers 1/2 par valeurs supérieures, 2x−1 tend vers 0⁺, donc ln(2x−1) tend vers −∞, tandis que x tend vers 1/2>0.

lim_x→1/2⁺ f(x)=−∞.

La droite d’équation x=1/2 est une asymptote verticale à la courbe.

2. Résoudre f(x)=0

Sur le domaine, x>1/2, donc x≠0. Ainsi :

x ln(2x−1)=0 ⇔ ln(2x−1)=0 ⇔ 2x−1=1 ⇔ x=1.

3.a. Calcul de f″

À partir de f′(x)=ln(2x−1)+2x/(2x−1) :

f″(x)=2/(2x−1) + [2(2x−1)−4x]/(2x−1)²f″(x)=[2(2x−1)−2]/(2x−1)²=4(x−1)/(2x−1)².

3.b. Point d’inflexion

Le dénominateur est strictement positif. Le signe de f″ est donc celui de x−1 : négatif avant 1, positif après 1. La convexité change une seule fois, en x=1.

f(1)=1×ln(1)=0.

Conclusion : la courbe admet un unique point d’inflexion A(1;0), qui est aussi son intersection avec l’axe des abscisses.

4.a. Positivité sur [1;2]

Pour x∈[1;2], x>0 et 2x−1≥1, donc ln(2x−1)≥0. Ainsi f(x)≥0.

4.b. Calcul de l’intégrale auxiliaire

En utilisant la décomposition admise :

x²/(2x−1)=x/2 + 1/4 + (1/8)×[2/(2x−1)].

Donc :

∫₁² x²/(2x−1) dx = [x²/4 + x/4 + (1/8)ln(2x−1)]₁²= (1+1/2+(1/8)ln3) − (1/4+1/4)=1+(1/8)ln3.

4.c. Aire A

Comme f est positive sur [1;2] :

A=∫₁² x ln(2x−1) dx.

Effectuons une intégration par parties avec u=ln(2x−1) et dv=x dx. Alors du=2/(2x−1)dx et v=x²/2 :

A=[(x²/2)ln(2x−1)]₁² − ∫₁² x²/(2x−1) dx.A=2ln3 − [1+(1/8)ln3] = (15/8)ln3 − 1.

Aire exacte : A=(15/8)ln(3)−1 unité d’aire, soit environ 1,06 unité d’aire.

Partie C – Généralisation

1. Existence et unicité du point d’inflexion

On admet :

f_a″(x)=a(ax−2)/(ax−1)².

Sur le domaine x>1/a, le dénominateur est strictement positif et a>0. Le signe est donc celui de ax−2. Il change de signe une seule fois pour :

x=2/a.

Chaque courbe C_a possède donc un unique point d’inflexion A_a.

2. Alignement des points Aₐ

L’abscisse du point est 2/a. Son ordonnée vaut :

f_a(2/a)=(2/a)ln(a×2/a−1)=(2/a)ln(1)=0.

Ainsi :

A_a(2/a ; 0).

Conclusion : tous les points A_a appartiennent à l’axe des abscisses ; ils sont donc alignés.

Erreur fréquente : écrire seulement f″(1)=0 pour conclure à un point d’inflexion. Il faut vérifier que f″ change effectivement de signe.

Méthode pour gagner des points sur ce sujet

Arbre pondéréInscrire les probabilités sur les branches et multiplier le long d’un chemin.

Variance d’une sommeL’additivité de la variance exige l’indépendance des variables.

RécurrencePrésenter clairement initialisation, hypothèse de récurrence, hérédité et conclusion.

Géométrie 3DTraduire chaque propriété géométrique par un produit scalaire, une équation ou un système.

Inéquation exponentielleSurveiller le signe du nombre par lequel on divise après passage au logarithme.

Intégration par partiesAnnoncer u, dv, du et v avant d’appliquer la formule.

Gestion indicative des 4 heures : 45 minutes pour l’exercice 1, 70 minutes pour l’exercice 2, 40 minutes pour l’exercice 3, 75 minutes pour l’exercice 4 et 10 minutes de relecture.

Compléter prochainement ses révisions de mathématiques

Les futures fiches et le futur lexique pourront reprendre les notions clés de ce sujet : probabilités conditionnelles, espérance, variance, Bienaymé-Tchebychev, équations différentielles, suites géométriques, produit scalaire, plan, convexité, logarithme et intégration par parties. Les boutons sont volontairement inactifs tant que les pages ne sont pas publiées.

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Mathématiques 2026 Antilles-Guyane – Jour 1 Code : 26-MATJ1AG1	SUJET OFFICIEL PDF
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FAQ

La totalité du sujet est-elle corrigée ?

Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord sujet 2

SCB — Tue, 26 May 2026 20:29:06 +0000

Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord sujet 2 – correction complète

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Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord sujet 2

Cette page propose une correction complète, structurée et pédagogique du sujet 2 de spécialité mathématiques tombé en Amérique du Nord en 2026 : probabilités, suites récurrentes, géométrie dans l’espace et fonction logarithme avec intégration par parties.

Session 2026Spécialité mathématiquesAmérique du Nord — sujet 2Barème : 20 points

Structure du corrigé

Exercice 1 — 4 ptsProbabilités conditionnelles, loi binomiale, fréquence et concentration.

Exercice 2 — 6 ptsFonction, suite récurrente, suite géométrique associée et somme de termes.

Exercice 3 — 5 ptsDroite, plan, projeté orthogonal, tétraèdre, aire et distance à un plan.

Exercice 4 — 5 ptsLogarithme, limites, variations, équation f(x)=2 et intégrations par parties.

Conseil élève : ce sujet est très complet : il mélange calculs techniques, preuves de convergence, géométrie vectorielle et rédaction d’analyse.

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles, loi binomiale et concentration

Partie A — Fournisseurs et tomates commercialisables

On note A l’événement « la tomate provient du fournisseur A », B l’événement « la tomate provient du fournisseur B » et C l’événement « la tomate est commercialisable ».

P(A)=0,60 ; P(B)=0,40 ; P(C)=0,91 ; P_A(C)=0,95.

Fournisseur	Commercialisable	Non commercialisable
A	P_A(C)=0,95	P_A(C̄)=0,05
B	P_B(C)=0,85	P_B(C̄)=0,15

P(A∩C)=0,60×0,95=0,57.

Par probabilités totales : 0,91 = 0,60×0,95 + 0,40×P_B(C).

P_B(C)=0,85.

P(A∩C̄)=0,03 ; P(B∩C̄)=0,06 ; P(C̄)=0,09.

P_C̄(A)=1/3 ; P_C̄(B)=2/3.

Le responsable a raison.

Partie B — Loi binomiale et fréquence observée

On note X le nombre de tomates non commercialisables dans un échantillon de 15 tomates.

X suit B(15 ; 0,09).

P(X=2)=C(15,2)×0,09²×0,91¹³≈0,250.

P(X≤2)≈0,853.

Pour F_n=X_n/n :

E(F_n)=0,09 et V(F_n)=0,0819/n.

P(|F_n−0,09|≥0,05)≤32,76/n.

P(0,04n<0,14) ≥ 1−32,76/n.

55/500=0,11.

0,11 appartient à ]0,04 ; 0,14[, donc le résultat observé est conforme.

Exercice 2 — Fonction, suite récurrente et somme de termes

Partie A — Étude d’une fonction

On considère f(x)=2x/√(1+x²).

Les solutions de f(x)=x sont −√3 ; 0 ; √3.

f'(x)=2/((1+x²)√(1+x²)).

f est strictement croissante sur R.

Partie B — Suite récurrente

La suite est définie par u₀=1 et u_n+1=f(u_n).

1≤u_n≤u_n+1<√3.

La suite est croissante, majorée, donc convergente.

Sa limite ℓ vérifie ℓ=f(ℓ). Comme 1≤ℓ≤√3 :

lim u_n=√3.

Suite auxiliaire

v_n=u_n²/(3−u_n²).

v_n+1=4v_n et v₀=1/2.

v_n=1/2×4ⁿ.

u_n=√((1,5×4ⁿ)/(1+0,5×4ⁿ)).

On retrouve lim u_n=√3.

Partie C — Somme des termes

from math import *

def termes(p):
    u = 1
    S = 0
    L = []
    for i in range(p):
        S = S + u**2
        u = 2*u/sqrt(1+u**2)
        L.append(S)
    return L

n≤S_n≤3n.

lim S_n=+∞ et lim S_n/n²=0.

Exercice 3 — Géométrie dans l’espace

On considère A(4 ; 2 ; 2), B(5 ; −2 ; 3), C(1 ; 1 ; 1), la droite Δ : x=1+2t, y=1+t, z=1+2t, et le plan P passant par A et perpendiculaire à Δ.

C appartient à Δ, mais A n’appartient pas à Δ.

u=(2 ; 1 ; 2).

P : 2x+y+2z−14=0.

B appartient à P, mais C n’appartient pas à P.

Tétraèdre ABCD

Avec D(3 ; 2 ; 3), on a CD=(2 ; 1 ; 2), vecteur normal au plan P.

D est le projeté orthogonal de C sur P.

A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

AB=(1 ; −4 ; 1), AD=(−1 ; 0 ; 1), donc AB·AD=0.

Le triangle ABD est rectangle en A.

AB=3√2 ; AD=√2 ; aire ABD=3 ; CD=3.

Volume du tétraèdre ABCD : V=3.

Distance du point D au plan (ABC)

H(73/29 ; −4/29 ; 51/29).

Aire du triangle ABC : 3√22/2.

3 = 1/3 × (3√22/2) × d.

Distance du point D au plan (ABC) : 3√22/11.

Exercice 4 — Fonction logarithme, variations et intégration par parties

On considère f(x)=x(ln x)² sur ]0 ; +∞[.

lim_x→+∞ f(x)=+∞.

Avec g(x)=x ln x :

f(x)=4(g(√x))² et lim_x→0+ f(x)=0.

Variations

f'(x)=(ln x)(2+ln x).

Intervalle	Signe de f′	Variation
]0 ; e⁻²]	+	Croissante
[e⁻² ; 1]	−	Décroissante
[1 ; +∞[	+	Croissante

Maximum de f sur ]0 ; 1] : 4/e².

Équation f(x)=2

L’équation f(x)=2 admet une unique solution α sur ]0 ; +∞[.

f(2,4)≈1,839<2 et f(2,5)≈2,099>2.

2,4<α<2,5.

Intégration par parties

L’intégrale ∫_a¹f(x)dx représente l’aire sous la courbe entre a et 1.

∫_a¹ f(x)dx = −a²/2(ln a)² + a²/2 ln a + 1/4 − a²/4.

lim_a→0+ ∫_a¹f(x)dx = 1/4.

Comment utiliser ce corrigé pour progresser

1. Refaire les calculs clés

Refais les calculs de probabilités, de dérivation et de géométrie avant de regarder les résultats.

2. Repérer les automatismes

Arbre pondéré, loi binomiale, Bienaymé-Tchebychev, récurrence, suite auxiliaire, équation de plan, volume de tétraèdre et intégration par parties.

3. Travailler la rédaction

La qualité de justification compte beaucoup : cite les formules et les théorèmes utilisés.

Télécharger le sujet et le corrigé

Retrouvez les deux documents PDF associés à ce sujet : l’énoncé officiel et le corrigé détaillé.

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Compléter ses révisions en spécialité maths

Pour consolider ce sujet, il est conseillé de revoir les probabilités conditionnelles, les lois binomiales, les suites récurrentes, les fonctions logarithmes, les intégrations par parties et la géométrie vectorielle dans l’espace.

ProbabilitésArbre, probabilités totales, loi binomiale, concentration.

SuitesRécurrence, limite, suite géométrique auxiliaire.

GéométrieDroite, plan, projeté, volume.

AnalyseLogarithme, variations, intégration par parties.

FAQ — Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord sujet 2

Ce sujet est-il difficile ?

Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord sujet 1

SCB — Tue, 26 May 2026 20:28:45 +0000

Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord sujet 1 – correction complète

Accueil › Mathématiques › Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord sujet 1

Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord sujet 1

Cette page propose une correction complète, structurée et pédagogique du sujet 1 de spécialité mathématiques tombé en Amérique du Nord en 2026 : probabilités, suites, géométrie dans l’espace et fonction logarithme.

Session 2026 Spécialité mathématiques Amérique du Nord — sujet 1 Barème : 20 points

Synthèse du corrigé

Exercice 1 — 6 ptsProbabilités conditionnelles, loi binomiale, variable aléatoire, espérance, variance.

Exercice 2 — 4 ptsSuite récurrente, récurrence, limite, algorithme Python, équation différentielle.

Exercice 3 — 5 ptsRepère de l’espace, produit scalaire, plan, projeté orthogonal et volume.

Exercice 4 — 5 ptsLogarithme, limites, dérivée, variations, convexité et tangente.

Conseil élève : ce sujet est très représentatif d’un sujet complet de spécialité maths : il faut maîtriser les automatismes de calcul, mais aussi savoir rédiger les justifications.

Exercice 1 — Probabilités, loi binomiale et variables aléatoires

Partie A — Arbre pondéré et probabilités conditionnelles

On note E l’abonnement Étudiant, C l’abonnement Classique, F l’abonnement Famille et H l’option « écoute hors-ligne ».

P(E)=0,25 ; P(F)=0,15 ; donc P(C)=1−0,25−0,15=0,60.

Les probabilités conditionnelles données ou déduites sont :

Branche	Probabilité	Complément
Étudiant	P_E(H)=0,45	P_E(H̄)=0,55
Classique	P_C(H)=0,30	P_C(H̄)=0,70
Famille	P_F(H)=0,12/0,15=0,80	P_F(H̄)=0,20

P(E∩H)=0,25×0,45=9/80.

Par la formule des probabilités totales :

P(H)=0,25×0,45 + 0,60×0,30 + 0,12 = 0,4125.

La probabilité qu’un abonné ayant activé l’option soit étudiant est :

P_H(E)=P(E∩H)/P(H)=(9/80)/(33/80)=3/11≈0,273.

Réponse : 0,273 au millième.

Partie B — Loi binomiale

On choisit 8 abonnés de manière indépendante. La variable X compte le nombre d’abonnés ayant activé l’option hors-ligne.

X suit la loi binomiale B(8 ; 0,4125).

La probabilité qu’aucun des huit abonnés n’ait activé l’option vaut :

P(X=0)=(1−0,4125)⁸=0,5875⁸≈0,014.

Pour un échantillon de n abonnés, la probabilité qu’au moins un abonné ait activé l’option est :

q_n=1−0,5875ⁿ.

On cherche q_n ≥ 0,999, soit 0,5875ⁿ ≤ 0,001. Avec les logarithmes :

n ≥ ln(0,001)/ln(0,5875) ≈ 12,987.

La plus petite valeur est donc n=13.

Partie C — Variable aléatoire de montant mensuel

La variable Y désigne le prix mensuel payé par un abonné.

Valeurs possibles : 5 ; 7 ; 10 ; 12 ; 16 ; 18.

y_i	5	7	10	12	16	18
P(Y=y_i)	11/80	9/80	21/50	9/50	3/100	3/25

L’espérance vaut :

E(Y)=5×11/80+7×9/80+10×21/50+12×9/50+16×3/100+18×3/25=419/40=10,475.

Interprétation : la plateforme reçoit en moyenne 10,475 € par mois et par abonné.

La variance obtenue à la calculatrice est :

V(Y)≈13,70.

Pour la plateforme vidéo, si E(Z)=9 et σ(Z)=2, alors V(Z)=4. Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|Z−9|≥3)≤4/9, donc P(|Z−9|<3)≥5/9>50%.

L’affirmation du responsable est justifiée.

Exercice 2 — Suites, algorithme et équation différentielle

Partie A — Modèle discret

La population de perches-soleil, exprimée en milliers, est modélisée par la suite définie par u₀=4 et :

u_n+1=4−4/u_n.

Pour 2026, on calcule :

u₁=4−4/4=3.

Le modèle prévoit 3 000 perches-soleil au 1er janvier 2026.

On pose h(x)=4−4/x. Pour x>0 :

h'(x)=4/x²>0.

La fonction h est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Récurrence et convergence

On montre par récurrence que, pour tout entier naturel n :

2 ≤ u_n+1 ≤ u_n ≤ 4.

Initialement, u₀=4 et u₁=3, donc l’encadrement est vrai. Si 2≤u_n+1≤u_n≤4, la croissance de h donne :

h(2)≤h(u_n+1)≤h(u_n), donc 2≤u_n+2≤u_n+1.

La suite est donc décroissante et minorée par 2. Elle converge vers une limite ℓ. En passant à la limite dans u_n+1=h(u_n) :

ℓ=4−4/ℓ ⇔ ℓ²−4ℓ+4=0 ⇔ (ℓ−2)²=0.

La limite est ℓ=2. Le modèle ne prévoit donc pas l’élimination de l’espèce : la population tend vers 2 000 individus.

Algorithme Python

Le script doit renvoyer le plus petit entier n tel que u_n

def population(s):
    u = 4
    n = 0
    while u >= s:
        u = 4 - 4/u
        n = n + 1
    return n

Pour s=2,2, on obtient u₉=2,2 puis u₁₀≈2,182.

population(2.2) renvoie 10 : la population devient strictement inférieure à 2 200 individus au 1er janvier 2035.

Partie B — Modèle continu

La fonction p vérifie p(0)=4 et l’équation différentielle y’+y=2.

y’=−y+2.

Les solutions sont de la forme :

y(t)=Ce^−t+2.

Avec p(0)=4, on obtient C=2.

p(t)=2e^−t+2.

Quand t tend vers +∞, e^−t tend vers 0. Donc :

lim p(t)=2. Le modèle continu ne prévoit pas non plus l’élimination de l’espèce.

Exercice 3 — Géométrie dans l’espace

Partie A — Coordonnées et produit scalaire

Dans le repère orthonormé donné, on connaît B(−1 ; 1 ; 0), C(1 ; 1 ; 0) et S(0 ; 0 ; 2). Le carré ABCD est dans le plan z=0.

A(−1 ; −1 ; 0) et D(1 ; −1 ; 0).

On calcule :

SC=(1 ; 1 ; −2), SB=(−1 ; 1 ; −2).

SC·SB=1×(−1)+1×1+(−2)×(−2)=4.

SC·SB=4.

Comme SC=SB=√6 :

4=√6×√6×cos(BSC), donc cos(BSC)=2/3.

L’angle BSC mesure environ 48,2°.

Partie B — Distance du point O au plan (SBC)

Le vecteur n=(0 ; 2 ; 1) est normal au plan (SBC), car il est orthogonal aux vecteurs SB et SC :

n·SB=0 et n·SC=0.

Une équation cartésienne du plan est donc de la forme 2y+z+d=0. Comme S(0 ; 0 ; 2) appartient au plan, d=−2.

Plan (SBC) : 2y+z−2=0.

La droite (OH), perpendiculaire au plan, passe par O et a pour vecteur directeur n :

x=0 ; y=2t ; z=t.

En remplaçant dans l’équation du plan :

2(2t)+t−2=0 ⇔ 5t=2 ⇔ t=2/5.

H(0 ; 4/5 ; 2/5).

La distance cherchée est OH :

OH=√((4/5)²+(2/5)²)=√(20/25)=2√5/5.

La distance du point O au plan (SBC) est 2√5/5 cm.

Partie C — Vérification par les volumes

Le volume de la pyramide SABCD vaut :

V=1/3×4×2=8/3 cm³.

La pyramide OCBS représente le quart de ce volume :

V_OCBS=2/3 cm³.

L’aire du triangle SBC vaut √5, car BC=2 et SJ=√5.

A_SBC=2×√5/2=√5.

Si d est la distance de O au plan (SBC), alors :

2/3=1/3×√5×d ⇔ d=2/√5=2√5/5.

On retrouve bien 2√5/5 cm.

Exercice 4 — Fonction logarithme, limites, variations et convexité

On étudie la fonction définie sur R par :

f(x)=5 ln(x²+1)−3x.

Convexité : conjecture graphique

D’après la représentation graphique, la courbe semble changer de convexité en −1 et 1.

Conjecture : f est convexe sur [−1 ; 1] et concave sur ]−∞ ; −1] puis sur [1 ; +∞[.

Limites

Quand x tend vers −∞, x²+1 tend vers +∞ et −3x tend aussi vers +∞.

lim_x→−∞ f(x)=+∞.

Pour x>0, on transforme :

x²+1=x²(1+1/x²)

f(x)=x(10 ln(x)/x−3)+5 ln(1+1/x²).

Comme ln(x)/x tend vers 0 et ln(1+1/x²) tend vers 0 :

lim_x→+∞ f(x)=−∞.

Dérivée et variations

Pour tout réel x :

f'(x)=5×2x/(x²+1)−3=(-3x²+10x−3)/(x²+1).

Le dénominateur est toujours positif. On étudie donc le signe de −3x²+10x−3. Ses racines sont 1/3 et 3.

Intervalle Signe de f’ Variation de f

]−∞ ; 1/3] Négatif Décroissante

[1/3 ; 3] Positif Croissante

[3 ; +∞[ Négatif Décroissante

f(1/3)=5 ln(10/9)−1 ; f(3)=5 ln(10)−9.

Convexité validée

On admet :

f »(x)=(-10x²+10)/(x²+1)² = 10(1−x²)/(x²+1)².

Le dénominateur est positif. Le signe dépend de 1−x².

f est convexe sur [−1 ; 1] et concave sur ]−∞ ; −1] et [1 ; +∞[. La conjecture est validée.

Tangente en x=1 et inégalité

On calcule :

f(1)=5 ln(2)−3 ; f'(1)=2.

L’équation de la tangente au point d’abscisse 1 est :

y=2x+5 ln(2)−5.

Comme f est concave sur [1 ; +∞[, sa courbe est située sous ses tangentes. Pour tout x>1 :

f(x)≤2x+5 ln(2)−5.

En remplaçant f(x) par 5ln(x²+1)−3x :

5ln(x²+1)−3x≤2x+5ln(2)−5.

Donc, pour tout x>1 : ln(x²+1)≤x+ln(2)−1.

Comment utiliser ce corrigé pour progresser

1. Refaire avant de lire

Le plus efficace est de refaire chaque question au brouillon avant de regarder la correction. Ensuite, il faut comparer la démarche, pas seulement le résultat.

2. Repérer les automatismes

Ce sujet mobilise des automatismes classiques : probabilités totales, loi binomiale, récurrence, passage à la limite, équation différentielle, produit scalaire, équation de plan, dérivée de ln(u), tableau de variations et convexité.

3. Travailler la rédaction

Pour gagner des points, il faut expliciter les formules utilisées : par exemple nommer la formule des probabilités totales, préciser le signe du dénominateur dans l’étude de f′, ou justifier la continuité avant de passer à la limite dans une suite récurrente.

Télécharger le sujet et le corrigé

Retrouve les deux documents au format PDF pour travailler le sujet complet puis vérifier ta rédaction avec le corrigé.
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Compléter ses révisions en spécialité maths

Pour consolider ce sujet, il est conseillé de revoir en priorité les chapitres suivants : probabilités conditionnelles, variables aléatoires, suites récurrentes, équations différentielles, géométrie vectorielle dans l’espace, fonctions logarithmes et convexité.

ProbabilitésArbre pondéré, conditionnement, formule des probabilités totales.

SuitesRécurrence, monotonie, convergence et limite.

GéométrieProduit scalaire, équation de plan, distance point-plan.

AnalyseLogarithme, dérivées, limites, variations, convexité.

FAQ — Corrigé bac maths 2026 Amérique du Nord

Ce sujet est-il difficile ?

Intervalle	Signe de f’	Variation de f
]−∞ ; 1/3]	Négatif	Décroissante
[1/3 ; 3]	Positif	Croissante
[3 ; +∞[	Négatif	Décroissante

Sujets grand oral maths — idées & exemples

SCB — Wed, 12 Nov 2025 17:18:24 +0000
Sujets Grand Oral maths — idées & exemples (Bac) Aller au contenu

Accueil • Grand Oral • Mathématiques Dernière mise à jour : 8 octobre 2025

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Grand Oral
Sujets grand oral maths — idées & exemples (Bac)

Sujets grand oral maths : 30 idées de questions prêtes à adapter, une méthode express, et une FAQ pour réussir l’épreuve.

Sujets / Exemples Méthodo express Ressources officielles FAQ

30 sujets grand oral maths par thèmes

Pioche, reformule, puis centre le propos sur une problématique claire. Évite les fiches « toutes faites » : le jury valorise tes choix, tes exemples et tes limites.

Probabilités & données

Modes de scrutin : mathématiques du vote & pièges d’interprétation.

Paris sportifs : cotes, espérance et gestion du risque.

Tests médicaux : faux positifs, valeurs prédictives et Bayes.

Courbe de Lorenz & coefficient de Gini : mesurer les inégalités.

Peut-on prévoir une épidémie ? (idée du modèle SIR).

Algorithmes de recommandation : biais et métriques d’évaluation.

Analyse, suites & modélisation

Échelle de Richter : logarithmes et intensité sismique.

Refroidissement d’un corps : loi exponentielle et limites.

Suites & viralité : croissance géométrique et saturation.

Méthode de Newton : résoudre des équations non linéaires.

Intégration numérique (trapèzes/Simpson) : idées et usages.

Équations différentielles : pendule simple & linéarisation.

Géométrie & graphes

Barycentres : applications en géométrie et design produit.

Réseaux de transport : plus courts chemins et graphes.

Fractales : auto-similarité et modélisations naturelles.

Produit scalaire : trajectoires optimisées (jeu/sport).

Vecteurs : étapes clés et interprétations géométriques.

Cryptographie classique : principes mathématiques de base.

Maths & société

Théorie du chaos : sens et limites en économie.

Corrélation vs causalité : comment éviter l’erreur judiciaire ?

Inégalités numériques : mesurer et comparer des répartitions.

Équité des classements sportifs : points, coefficients, aléas.

Modèles & décisions publiques : que valent nos prévisions ?

Histoire brève d’un concept (zéro, infini, symbole, etc.).

Astuce : sur chaque sujet, définis, illustre, modélise, puis discute les limites (hypothèses, données, ordre de grandeur).

🎯 Méthodo express (5 étapes)

Point d’accroche : un cas concret (actu, sport, santé…).

Problématique : une question mathématique précise.

Boîte à outils : définitions, propriétés, schémas courts.

Modélisation : calculs simples, ordre de grandeur, exemple.

Limites & ouverture : hypothèses, biais, ce qu’on ne sait pas.

Le jour J : parle comme à un non-spécialiste, annonce ton plan, respire, regarde le jury, et garde un exemple chiffré « prêt à servir ».

🔗 Ressources officielles & pour s’inspirer

Eduscol — Présentation du Grand Oral

Éducation.gouv — Comment se passe le Grand Oral

Le Figaro Étudiant — 15 exemples de questions en maths

Fiche-de-révision — 10 sujets de grand oral spé maths

Studyrama — Idées de sujets Grand Oral (maths)

L’Étudiant — Idées de sujets pour le Grand Oral de maths

❓ FAQ Grand Oral Maths

Combien de sujets dois-je préparer ?

Math Spé 1ière Epreuve anticipée Bac – 2026 – 2027

SCB — Tue, 09 Sep 2025 10:18:21 +0000

The post Math Spé 1ière Epreuve anticipée Bac – 2026 – 2027 appeared first on Sujets-corrigés-bac.

Sujets et corrigés de Spécialité Mathématiques 2026 (bac général)

SCB — Mon, 11 Aug 2025 19:15:39 +0000
Sujets bac Maths spécialité 2026 PDF — Programme, structure épreuve (3h30) + méthodo (fonctions, suites, probas, complexes) Aller au contenu

🏠 Accueil Mis à jour le 29 juin 2026

Accueil Mathématiques Maths spécialité 2026

Sujets bac Maths spécialité 2026 PDF — Programme, structure épreuve (3h30) + méthodo (fonctions, suites, probas, complexes)

✓ Déjà disponibles : 6 sujets et corrigés du bac Maths 2026

Baccalauréat général — Spécialité Mathématiques · Session juin 2026 · Épreuve 3h30 · 20 pts

Sujets 2026 Programme Terminale Structure épreuve Méthodo & automatismes FAQ Autres années

Les sujets officiels du bac Maths spécialité 2026 seront disponibles après la session de juin 2026. Cette page présente le programme complet de Terminale spécialité évalué en 2026, la structure de l’épreuve (3h30, 4-5 exercices), les automatismes à maîtriser et une méthode express. En attendant, s’entraîner avec les annales Maths 2025.

Sujets Maths spécialité 2026 — à paraître par centre

✓ Six sujets et corrigés du bac Maths spécialité 2026 sont déjà disponibles. Retrouvez-les ci-dessous pour vous entraîner dans les conditions réelles de l’épreuve.

Centre d’examen Sujet PDF Corrigé PDF

Métropole Jour 1 Sujet 1 Corrigé 1

Métropole – Jour 2 Sujet 2 Corrigé 2

Amérique du Nord — Jour 1 Sujet 1 Corrigé 1

Amérique du Nord — Jour 2 Sujet 2 Corrigé 2

Antilles Guyane – Jour 1 Sujet 1 Corrigé 1

Antilles Guyane – jour 2 Sujet 2 Corrigé 2

Centres Étrangers Afrique — Jour 1 À venir À venir

Centres Étrangers Afrique — Jour 2 À venir À venir

Polynésie — Jour 1 À venir À venir

Les liens apparaîtront ici dès la publication officielle par centre, après la session juin 2026.

Programme Terminale Maths spécialité — notions évaluées au bac 2026

Le bac 2026 évalue l’intégralité du programme de Terminale spécialité Mathématiques. Les 6 domaines ci-dessous sont systématiquement représentés dans les sujets, souvent en combinaison dans un même exercice :

Analyse — Fonctions Dérivées usuelles (polynômes, exp, ln, racine) et règles de dérivation (somme, produit, composée). Tableau de signe de f’, tableau de variations, extrema. Primitives et intégrales (calcul d’aire entre courbes). Fonctions exponentielle et logarithme nepérien : propriétés, graphe, limite en ±∞.

Suites numériques Suites arithmétiques (raison r, terme général u₀+nr, somme) et géométriques (raison q, terme général u₀qⁿ, somme). Suites définies par récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ) : sens de variation, convergence, limite. Modélisation : intérêts composés, remboursements, croissance de population.

Probabilités & statistiques Variables aléatoires discrètes : espérance, variance, écart-type. Loi binomiale B(n,p) : paramètres, calcul de probabilités, espérance np. Loi normale N(μ,σ²) : densité, calcul sous courbe, centrer-réduire. Intervalle de fluctuation et de confiance. Tests d’hypothèses. Simulation Python (random).

Géométrie dans l’espace Vecteurs de l’espace : coordonnées, opérations, colinéarité. Droites et plans : représentations paramétriques, équations, positions relatives (parallélisme, intersection, orthogonalité). Distances (point–plan, point–droite). Produit scalaire dans l’espace.

Nombres complexes Forme algébrique : partie réelle, imaginaire, conjugué, module. Forme trigonométrique et exponentielle (argument, formule d’Euler eiθ). Équations du 2nd degré dans ℂ (discriminant négatif). Représentation géométrique dans le plan complexe. Applications : rotations, transformations.

Algorithmique & Python Fonctions Python (def, return, paramètres). Boucles for/while, conditions if/elif/else. Calcul de termes de suites et algorithme de seuil. Méthode de dichotomie. Simulation de lois (random.random(), random.randint()). Lecture et compréhension d’un script fourni dans le sujet.

Les sujets des années précédentes (en particulier 2025 et 2024 avec corrigés officiels Métropole) montrent que la loi normale, les suites récurrentes et les nombres complexes font l’objet d’exercices longs qui concentrent une partie importante des points.

Structure de l’épreuve Maths spécialité au bac général 2026

L’épreuve de spécialité Mathématiques dure 3h30, est notée sur 20 et comporte 4 à 5 exercices indépendants :

📐 Format des exercices

4 à 5 exercices indépendants (l’un ne déblocant pas l’autre). Chaque exercice est consacré à un ou plusieurs domaines du programme. Les questions sont progressives en difficulté à l’intérieur d’un même exercice. La calculatrice est autorisée.

✅ Ce que valorisent les correcteurs

La démarche justifiée (propriété énoncée, hypothèses vérifiées, étapes intermédiaires) est valorisée autant que le résultat final. Une réponse partiellement correcte mais bien rédigée rapporte des points. Les correcteurs s’appuient sur les éléments de correction publiés par le ministère pour Métropole.

🕒 Gestion du temps (3h30)

10 min de lecture globale. 1h40 sur les exercices les plus accessibles en commençant par eux. 1h sur les exercices plus complexes — ne jamais bloquer plus de 5 min sur une question. 20 min de finition des questions laissées en suspens. 10 min de relecture cohérence numérique et unités.

Méthode express + automatismes à maîtriser avant le bac 2026

Automatismes — à calculer sans hésitation le jour J

Dérivées & fonctions

(xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹

(eˣ)’ = eˣ · (e^u)’ = u’eᵘ

(ln x)’ = 1/x · (ln u)’ = u’/u

(uv)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v − uv’) / v²

Suites

Arithmétique : uₙ = u₀ + n·r

Somme arith. : n·(u₀ + uₙ₋₁) / 2

Géométrique : uₙ = u₀ · qⁿ

Somme géom. : u₀ · (1 − qⁿ) / (1 − q)

Récurrence : dessiner la courbe de f et droite y=x

Probabilités

Loi binomiale : E(X) = np

P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ

Loi normale : P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0.9545

Centrer-réduire : Z = (X−μ) / σ

Intervalle de confiance : [f − 1/√n ; f + 1/√n]

Complexes

Module : |z| = √(a² + b²)

Argument : arg(z) = arctan(b/a) (attention quadrant)

Forme exponentielle : z = r·e^{iθ}

Formule d’Euler : e^{iθ} = cos θ + i·sin θ

|z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| · arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

Planning de révision en 8 semaines avant l’épreuve

Semaines Objectif

S1–S2 Réviser les automatismes (dérivées, suites, complexes) sans les annales. Fiches-résumés + exercices d’application directe.

S3–S4 Travail par domaine sur les annales 2025 et 2024 : regrouper tous les exercices de probabilités, puis tous ceux de suites, etc. Avec corrigés.

S5–S6 Sujets complets en 3h30 chrono. Corriger soi-même avant de consulter le corrigé. Identifier les types de questions systématiquement ratés.

S7–S8 Refaire les exercices sur les points faibles identifiés. Consolider la rédaction (justifications, conclusion, unités). Dernier sujet complet la semaine avant.

Ressources officielles

Programme Mathématiques spécialité Terminale (Éduscol)

Maths spécialité 2025 — sujets et corrigés disponibles

Maths spécialité 2023 — 9 corrigés disponibles

Annabac — fiches Mathématiques Terminale générale

FAQ — Mathématiques spécialité bac général 2026

Quand les sujets officiels Maths spécialité 2026 seront-ils disponibles ?

Sujets et corrigés de Spécialité Mathématiques 2025

SCB — Mon, 11 Aug 2025 19:03:31 +0000
Sujets bac Maths spécialité 2025 PDF — 12 sujets (Métropole, Amériques, Polynésie, Asie, remplacement) Aller au contenu

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Sujets bac Maths spécialité 2025 PDF — 12 sujets (Métropole, Amériques, Polynésie, Asie, remplacement)

⏳ Corrigés en cours de publication. Pour vous entraîner avec des corrigés dès maintenant, consultez les sujets Maths 2023 avec 9 corrigés disponibles.

Baccalauréat général — Spécialité Mathématiques · 12 sujets · Épreuve 3h30

📄 Sujets PDF Notions clés 2025 Structure épreuve Méthodo FAQ Autres années

Retrouvez sur cette page les 12 sujets officiels du bac Mathématiques spécialité 2025 (bac général) en téléchargement PDF par centre d’examen : Métropole France 1 et 2, Amérique du Nord 1, 2 et 2bis, Asie 1 et 2, Centres Étrangers Afrique 1 et 2, Polynésie 1 et 2, et Polynésie 1 remplacement. Les notions clés du programme de Terminale, la structure de l’épreuve et une méthode express sont disponibles ci-dessous.

Sujets Maths spécialité 2025 — téléchargement PDF par centre

Les 12 sujets officiels sont téléchargeables gratuitement. Métropole France est listé en premier, suivi des autres centres dans l’ordre géographique habituel.

Centre d’examen Sujet PDF Corrigé

Métropole France — Jour 1 Sujet PDF À venir

Métropole France — Jour 2 Sujet PDF À venir

Amérique du Nord — Jour 1 Sujet PDF À venir

Amérique du Nord — Jour 2 Sujet PDF À venir

Amérique du Nord — Jour 2 Bis Sujet PDF À venir

Asie — Jour 1 Sujet PDF À venir

Asie — Jour 2 Sujet PDF À venir

Centres Étrangers Afrique — Jour 1 Sujet PDF À venir

Centres Étrangers Afrique — Jour 2 Sujet PDF À venir

Polynésie — Jour 1 Sujet PDF À venir

Polynésie — Jour 2 Sujet PDF À venir

Épreuve de remplacement

Polynésie — Jour 1 Remplacement Sujet PDF À venir

En attendant les corrigés 2025, entraînez-vous avec les 9 corrigés disponibles pour la session 2023.

Notions clés du programme Mathématiques spécialité mobilisées dans les sujets 2025

Les sujets 2025 s’appuient sur les 6 grands domaines du programme de Terminale spécialité Mathématiques de la voie générale. La maîtrise de chacun de ces domaines est indispensable pour aborder sereinement n’importe quel sujet, quel que soit le centre d’examen.

Analyse — Fonctions Dérivation (dérivées usuelles, règles de composition), étude de variations, primitives et intégrales (calcul d’aires, interprétation géométrique), fonctions exponentielle et logarithme, étude complète de fonctions.

Suites numériques Suites arithmétiques et géométriques (raison, sommes partielles), suites définies par récurrence, sens de variation, convergence et limite, modélisation (intérêts composés, remboursements, croissance de population).

Probabilités & statistiques Variables aléatoires (espérance, variance, écart-type), loi binomiale et loi normale (centrer-réduire, lecture de table), intervalle de fluctuation et de confiance, tests d’hypothèses, simulation Python.

Géométrie Géométrie dans l’espace (vecteurs, coordonnées, équations de droites et plans, distances et angles), produit scalaire dans le plan (applications : orthogonalité, cercles), géométrie analytique.

Nombres complexes Forme algébrique (parties réelle et imaginaire, conjugué, module), forme trigonométrique et exponentielle (argument, formule d’Euler), opérations, résolution d’équations du 2e degré dans ℂ, représentation géométrique.

Algorithmique & Python Algorithmes de calcul (suites, dichotomie, méthode d’Euler), structures de contrôle (boucles while/for, fonctions, conditions), simulation de lois de probabilités, calcul numérique, lecture et compréhension d’un script.

Structure de l’épreuve Mathématiques spécialité au bac général 2025

L’épreuve de spécialité Mathématiques dure 3h30 et est notée sur 20. Elle est organisée autour de 4 à 5 exercices indépendants couvrant les différents domaines du programme :

📊 Exercices indépendants (4 à 5)

Chaque exercice couvre un ou deux domaines du programme. Ils sont indépendants les uns des autres : une difficulté sur l’un ne bloque pas les suivants. Les questions sont progressives à l’intérieur de chaque exercice (du plus accessible au plus complexe).

🔢 Compétences évaluées

Calcul et maîtrise des formules, raisonnement et justification des étapes (ne jamais sauter d’étapes), modélisation (mise en équation d’une situation concrète), utilisation de Python ou de la calculatrice graphique.

Le sujet Métropole est généralement le sujet de référence pour calibrer le niveau attendu. Les sujets Amérique du Nord et Asie présentent souvent des formulations légèrement différentes sur les mêmes notions — travailler plusieurs centres permet de rencontrer la même notion sous des angles variés.

Méthode express — réussir l’épreuve Maths spécialité 2025

Stratégie pendant l’épreuve (3h30)

Lire tous les exercices en 10 min : identifier les exercices les plus accessibles et commencer par eux pour sécuriser les points faciles avant d’attaquer les parties difficiles.

Ne jamais bloquer : si une question résiste après 5 min, passer à la suivante — les questions d’un même exercice sont souvent indépendantes.

Justifier chaque implication : écrire les étapes intermédiaires, même évidentes. Un résultat juste sans justification peut ne pas être crédité.

Vérifier la cohérence numérique : une probabilité supérieure à 1, une longueur négative ou un résultat d’ordre de grandeur incohérent signalent une erreur à corriger.

Réserver 10 min finales pour relire les signes, les unités et les encadrements.

Utiliser les annales 2025 efficacement

Commencer par Métropole : c’est le sujet de référence qui permet de calibrer son niveau et de repérer les domaines à retravailler.

Travailler par domaine : regrouper tous les exercices de probabilités de différents centres, puis tous les exercices de géométrie, etc. — plus efficace que de faire des sujets complets de bout en bout.

Se servir des sujets 2023 pour la correction active : sans corrigés 2025 disponibles, les 9 corrigés de la session 2023 permettent de comprendre la rédaction attendue par niveau de question.

Finir par des sujets complets en 3h30 chrono pour travailler l’endurance et la gestion du temps.

Points de vigilance pour la session 2025

Loi normale : bien centrer-réduire avant de lire la table, ne pas confondre P(X ≤ a) et P(X ≥ a), distinguer espérance et médiane.

Suites récurrentes : calculer les premiers termes pour conjecturer la monotonie, puis prouver par récurrence si demandé.

Nombres complexes : préciser systématiquement module et argument, vérifier que l’argument est dans ]-π ; π].

Python : lire attentivement l’indentation, tester mentalement le programme sur un exemple numérique simple avant de répondre.

Sujet 2 Bis Amérique du Nord : sujet atypique dans la session 2025 — le travailler comme un sujet d’entraînement supplémentaire à part entière.

Ressources officielles

Programme Mathématiques spécialité Terminale (PDF Éduscol)

Annabac — fiches Mathématiques Terminale générale

Maths spécialité 2023 — 9 corrigés disponibles

FAQ — Mathématiques spécialité bac général 2025

Combien de sujets officiels sont disponibles pour le bac Maths spécialité 2025 ?

Centre d’examen	Sujet PDF	Corrigé PDF
Métropole Jour 1	Sujet 1	Corrigé 1
Métropole – Jour 2	Sujet 2	Corrigé 2
Amérique du Nord — Jour 1	Sujet 1	Corrigé 1
Amérique du Nord — Jour 2	Sujet 2	Corrigé 2
Antilles Guyane – Jour 1	Sujet 1	Corrigé 1
Antilles Guyane – jour 2	Sujet 2	Corrigé 2
Centres Étrangers Afrique — Jour 1	À venir	À venir
Centres Étrangers Afrique — Jour 2	À venir	À venir
Polynésie — Jour 1	À venir	À venir

Semaines	Objectif
S1–S2	Réviser les automatismes (dérivées, suites, complexes) sans les annales. Fiches-résumés + exercices d’application directe.
S3–S4	Travail par domaine sur les annales 2025 et 2024 : regrouper tous les exercices de probabilités, puis tous ceux de suites, etc. Avec corrigés.
S5–S6	Sujets complets en 3h30 chrono. Corriger soi-même avant de consulter le corrigé. Identifier les types de questions systématiquement ratés.
S7–S8	Refaire les exercices sur les points faibles identifiés. Consolider la rédaction (justifications, conclusion, unités). Dernier sujet complet la semaine avant.

Centre d’examen	Sujet PDF	Corrigé
Métropole France — Jour 1	Sujet PDF	À venir
Métropole France — Jour 2	Sujet PDF	À venir
Amérique du Nord — Jour 1	Sujet PDF	À venir
Amérique du Nord — Jour 2	Sujet PDF	À venir
Amérique du Nord — Jour 2 Bis	Sujet PDF	À venir
Asie — Jour 1	Sujet PDF	À venir
Asie — Jour 2	Sujet PDF	À venir
Centres Étrangers Afrique — Jour 1	Sujet PDF	À venir
Centres Étrangers Afrique — Jour 2	Sujet PDF	À venir
Polynésie — Jour 1	Sujet PDF	À venir
Polynésie — Jour 2	Sujet PDF	À venir
Épreuve de remplacement
Polynésie — Jour 1 Remplacement	Sujet PDF	À venir

Mathématiques Archives - Sujets-corrigés-bac

Corrigé Mathématiques Métropole 2026 Jour 2 – spécialité bac

Résumé du sujet et attendus

Ce qu’il fallait reconnaître

Conseil de copie

Téléchargement du sujet

Exercice 1 – Géométrie dans l’espace

1. Montrer que A, B et C définissent un plan

2. Vecteur normal et équation du plan

3. Droite orthogonale au plan passant par D

4. Projeté orthogonal de D sur le plan (ABC)

5. Aire du triangle ABC

6. Volume du tétraèdre et aire de BCD

7. Point Dk(0 ; 0 ; k)

Exercice 2 – Pollution d’un bassin

Partie A – Modèle discret

Partie B – Modèle continu

Nettoyage et seuil de 50 litres

Exercice 3 – Probabilités et dénombrement

Exercice 4 – Fonction exponentielle, logo et intégrale

Partie A – Lecture graphique

Partie B – Étude de f

Valeur de α

Partie C – Aire et volume du porte-clé

Lexique des notions utiles

Vecteur normal

Projeté orthogonal

Suite arithmético-géométrique

Équation différentielle

Loi binomiale

Primitive

Navigation utile

Corrigé Mathématiques Métropole 2026 – Jour 1

Corrigé Mathématiques Métropole 2026 – Jour 1

En résumé : les résultats à connaître

Programme mobilisé dans ce sujet

Mots du lexique Mathématiques utiles pour ce sujet

Exercice 1 – Probabilités, variables aléatoires et Bienaymé-Tchebychev

Partie A – Arbre de probabilités

1a. Donner P(C)

1b. Compléter l’arbre pondéré

2. Probabilité de réserver un véhicule et une cabine

3. Probabilité de réserver un véhicule sachant qu’une cabine est réservée

4. Déterminer PV̄(C) et interpréter

Partie B – Espérance, variance et réduction

1. Justifier E(X)=96 et V(X)=3114

2a. Justifier Z=0,6(X+Y)

2b. En déduire E(Z) et V(Z)

3a. Espérance et variance de Mn

3b. Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 2 – Géométrie dans l’espace et dénombrement

Affirmation 1 : vraie

Affirmation 2 : fausse

Affirmation 3 : vraie

Affirmation 4 : vraie

Exercice 3 – Chauffage : équation différentielle, suite et Python

Partie A – Phase de chauffage

1. Solutions de l’équation différentielle

2. Déterminer T(t)

3. Temps nécessaire pour atteindre 20°C

4. La température peut-elle dépasser 28°C ?

Partie B – Phase de refroidissement

1. Montrer que u1=19,72

2. Montrer par récurrence que un>10

3. Convergence de la suite

4a. Équation vérifiée par la limite

4b. Déterminer et interpréter la limite

5a. Compléter le programme Python

5b. Déterminer le temps de remise en marche

Exercice 4 – Fonction logarithme, variations et intégrale

Partie A – Déterminer a et b

1. Justifier que a=1

2a. Donner f′(0) par lecture graphique

2b. Donner le signe de f′′(1)

3a. Calculer f′(x)

3b. En déduire b

Partie B – Étude de f(x)=1+4ln(x+1)/(x+1)

1. Asymptote horizontale

2. Résoudre 1−ln(x+1)>0

3. Tableau de variation complet

7. Point D_k(0 ; 0 ; k)

4. Déterminer P_V̄(C) et interpréter

3a. Espérance et variance de M_n

1. Montrer que u₁=19,72

2. Montrer par récurrence que u_n>10

2. Montrer que P(A₂) = 0,9164

3. Calculer P_A2(A₁) et interpréter

1. Montrer par récurrence que p_n+1 ≤ p_n

1. Variations d’une primitive F₂ sur ]0 ; 3]

2. Identifier f′₂ et f″₂

1a. Dérivée de f₁

1b. Limite de f′₁ en +∞

2a. Justifier les variations de f′₁ et la valeur de l’extremum

2b. Limite de f′₁ en 0

2c. Unique solution α et maximum de f₁